Mathematik Klasse 5/6
Zahlen begegnen dir jeden Tag: Mitglieder einer AG, Besucher im Stadion, verkaufte Handys. Das sind „natürliche“ Zahlen. Wenn du loszählst, 0, 1, 2, 3 und so weiter, erhältst du die natürlichen Zahlen. Sie sind die einfachste Gruppe von Zahlen.
Natürliche Zahlen kannst du ordnen, runden und vor allem kannst du mit ihnen rechnen. Du addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst sie im Kopf. Wenn die Zahlen zu groß werden, rechnest du schriftlich. Außerdem untersuchst du Vielfache und Teiler von Zahlen. Du lernst die Teilbarkeitsregeln und was es mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) auf sich hat.
Ein halber Liter Milch, drei Viertel der Klasse oder ein Drittel von der Pizza: Da kommst du mit natürlichen Zahlen nicht mehr weiter, sondern brauchst Brüche.
Mit Brüchen stellst du Anteile an einem Ganzen dar. Du kannst Brüche erweitern und kürzen, ordnen und auf dem Zahlenstrahl eintragen. Und natürlich rechnest du: Bei Brüchen ist das Multiplizieren und Dividieren ausnahmsweise mal einfacher als das Addieren und Subtrahieren.
Die Vorrangregeln wie Punkt- vor Strichrechnung gelten auch für Brüche.
Dezimalbrüche oder Dezimalzahlen kennst du schon lange: Das sind Kommazahlen. Zahlen wie 1,99 Euro oder 1,25 Meter verwendest du häufig. Sie sind eine andere Schreibweise für Brüche.
Du ahnst es: Dezimalbrüche kannst du ordnen, runden und natürlich addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
Brüche und Dezimalbrüche kannst du ineinander umwandeln. Eine Besonderheit sind periodische Dezimalbrüche. Sie haben unendlich viele Nachkommastellen.
Um die Länge von Strecken oder Gewichte anzugeben, brauchst du Einheiten. Die Entfernung zwischen zwei Orten gibst du in Kilometer (km) an. Deine Köpergröße sagst du in Metern (m) und dein Gewicht in Kilogramm (kg). In einem Backrezept stehen die Zutaten meistens in Gramm (g). Das sind die Einheiten der Masse (Gewicht) und der Länge.
Du kennst auch schon Einheiten der Zeit wie Stunde, Minute und Sekunde. Neu sind für dich bestimmt die Einheiten der Fläche (wie Quadratmeter m²) und des Volumens (wie Kubikmeter m³).
Geometrie ist was zum Anfassen: Ganz viel um dich herum kannst du mit geometrischen Formen beschreiben. Eine Tischplatte ist ein Rechteck, Steinplatten sind oft Quadrate, Schmuckstücke haben oft die Form einer Raute. Jedes dieser Vierecke hat besondere Eigenschaften wie parallele Seiten oder gleich lange Seiten. Für Quadrat und Rechteck lernst du, wie du Umfang und Flächeninhalt berechnest. So kannst du den Farbverbrauch beim Streichen von Wänden bestimmen.
Außerdem lernst du geometrische Körper kennen. Ganz viele Verpackungen haben die Form von Würfel oder Quader. Du berechnest ihr Volumen und ihren Oberflächeninhalt. So weißt du, wie viel in so eine Packung reinpasst und wie viel Verpackungsmaterial du benötigst.
Spielst du gern Gesellschaftsspiele? Was mit Würfeln? Da bist du schon mittendrin in Zufallsexperimenten. Bei Zufallsexperimenten weißt du nicht, was rauskommt. Beispiele sind das Werfen eines Würfels oder einer Münze und das Drehen eines Glücksrads. Aber trotzdem kannst du Zufallsexperimente untersuchen: mit absoluter und relativer Häufigkeit, mit Wahrscheinlichkeiten oder einem Baumdiagramm. Häufigkeiten kannst du bei allen möglichen Daten untersuchen. Das geht gut mit Kennzahlen wie dem arithmetischen Mittel oder dem Median.
Mathematik Klasse 7/8
In kalten Wintern können die Temperaturen unter 0 Grad Celsius sinken. Dann zeigt das Thermometer Minusgrade an. Sie gehören zu einem neuen Zahlenbereich: den negativen Zahlen (-1 oder -2,5 oder -100). Mathematiker nennen sie die rationalen Zahlen ℚ. Du stellst rationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl oder im Koordinatensystem dar und rechnest mit ihnen.
Außerdem geht es um irrationale Zahlen wie √2. Du rechnest mit Wurzeln, ob mit oder ohne Variablen. Auch die reellen Zahlen ℝ lernst du kennen.
Bisher hast du nur mit Zahlen gerechnet. Jetzt kommen Variablen wie x oder y hinzu. Variablen kommen in Termen und Gleichungen vor. Du stellst Terme auf und fasst sie zusammen. Dann löst du Klammern auf und klammerst Terme aus. Dabei helfen dir die binomischen Formeln.
Durch Termumformungen löst du lineare Gleichungen. Du kannst auch 2 Gleichungen mit 2 Variablen lösen. Das sind dann lineare Gleichungssysteme. Eine weitere Sorte von Gleichungen sind die quadratischen Gleichungen (mit x2).
Bist du schon einmal umgezogen und hast dein neues Zimmer vermessen, ob alle deine Möbel reinpassen? Messen kannst du alle möglichen Größen: Längen, Flächen, Rauminhalte und Gewichte. Wichtig ist das Umrechnen von verschiedenen Einheiten der Größen.
Noch spannender ist, wenn du Größen und andere Daten in Diagramme einträgst. Diagramme findest du überall, wo Daten ausgewertet werden: Verkaufszahlen, Internetnutzung oder Umfragen.
Prozentangaben wie 50 % oder 25 % hast du schon oft gesehen, zum Beispiel bei Preissenkungen oder Wahlen. Du rechnest praktische Aufgaben, die auch im Alltag vorkommen können: Wie viel spare ich bei dem Angebot? Wie viel Prozent der Stimmen hat dein Klassensprecher gewonnen?
Erwachsene hast du vielleicht schon von Zinsen reden hören. Wenn sie Geld sparen wollen oder einen Kredit von einer Bank beantragen, bekommen oder zahlen sie Zinsen.
Kaufst du im Supermarkt ein und berechnest Preise, nutzt du Zuordnungen: Je mehr du von einer Sache kaufst, desto mehr musst du bezahlen. Das sind proportionale Zuordnungen. Es gibt aber auch noch weitere Zuordnungen. Du kannst sie in Worten, Tabellen und im Koordinatensystem darstellen.
Die wichtigsten Zuordnungen sind proportionale und antiproportionale Zuordnungen. Dazu gibt es viele Anwendungsaufgaben. Meist berechnest du sie mit dem Dreisatz
Funktionen sind bestimmte Zuordnungen. Du stellst sie in Worten, Wertetabellen, Funktionsgleichungen und Graphen im Koordinatensystem dar. Vor allem untersuchst du lineare Funktionen wie y=2x+3. Im Alltag sind das zum Beispiel Tarife mit einer Grundgebühr und stündlichem Verbrauch. Mit dem Steigungsdreieck zeichnest du sie ins Koordinatensystem. Weitere Sorten von Funktionen sind quadratische Funktionen, Betragsfunktionen und Potenzfunktionen.
Geometrische Figuren wie Kreise, Dreiecke oder Rechtecke umgeben dich täglich. Beispielsweise als Schilder im Straßenverkehr.
Nun untersuchst du die Figuren näher und lernst beim Dreieck besondere Linien wie die Höhen, die Seitenhalbierenden und die Winkelhalbierenden kennen. Aber ohne Rechnen geht’s nicht: Du bestimmst Flächeninhalte und Volumina.
Besonders spannend sind Kreise. Dazu lernst du die Kreiszahl π kennen.
Daten wie Schulnoten oder Körpergrößen werden überall erhoben. Du stellst Daten in Diagrammen dar und berechnest Kenngrößen wie das arithmetische Mittel oder den Median, damit du die Daten besser auswerten kannst.
Hast du schon einmal eine Münze geworfen? Du untersuchst Zufallsexperimente wie das Werfen einer Münze und das Ziehen einer Kugel aus einer Urne. In Baumdiagrammen stellst du die Experimente dar.
Mathematik Klasse 9/10
Zahlen können sehr groß oder sehr klein werden: Entfernungen im Weltraum oder die Größe von einzelnen Körperzellen. Damit du mit diesen Zahlen immer noch gut umgehen kannst, gibt es die Zehnerpotenzen. Für Potenzen allgemein lernst du neue Rechengesetze kennen. Es gibt auch Potenzen mit Brüchen im Exponenten. Die sind wieder verwandt mit Wurzeln. Es gibt nicht nur Quadratwurzeln, sondern auch dritte und höhere Wurzeln! Die Potenzen brauchst du auch in der Geometrie oder Stochastik.
Hast du schon einmal Tarife verglichen? Mit und ohne Grundgebühr, monatliche oder jährliche Zahlungen: all das kannst du mit Gleichungen ausdrücken. Wenn du Tarife vergleichst, brauchst du mehrere Gleichungen. Das sind Gleichungssysteme. Um sie zu lösen, lernst du verschiedene Verfahren.
Bei manchen Gleichungen, zum Beispiel bei der Flächenberechnung, kann ein x² vorkommen. Das sind quadratische Gleichungen. Die kannst du mit der berühmten p-q-Formel oder anderen Verfahren lösen.
Die Form von Brücken oder einen Ballwurf kannst du mit quadratischen Funktionen beschreiben. Sie haben als Graph sogenannte Parabeln. Noch spannender sind Wachstums- oder Abnahmeprozesse: Bakterienwachstum oder wie der Körper Medikamente abbaut. Dafür benutzt du Exponentialfunktionen. Das neue daran ist, dass die Variable im Exponenten steht.
Es gibt auch periodische Vorgänge: Schwingungen oder wenn sich ein Riesenrad dreht. Du beschreibst sie mit der Sinus- oder Kosinusfunktion.
Du wirst ganz viele Anwendungen berechnen: Abstände von Orten, die du nicht messen kannst oder Längen an Gebäuden. Das geht am besten, wenn du Dreiecke hast. Für Dreiecke gelten viele Gesetze: Der Satz des Pythagoras, Ähnlichkeit, Strahlensätze. Besondere Beziehungen im Dreieck sind der Sinus, der Kosinus und der Tangens. Viele Regeln gelten nur im rechtwinkligen Dreieck.
Mit den neuen Körpern Zylinder, Kegel, Kugel und die Pyramide kannst du verschiedene Verpackungsoberflächen berechnen.
Daten wie Schulnoten oder Körpergrößen werden überall erhoben. Du stellst Daten in Diagrammen dar und berechnest Kenngrößen wie arithmetisches Mittel oder Median, damit du die Daten besser auswerten kannst.
Hast du schon einmal eine Münze geworfen? Hier untersuchst du solche Zufallsexperimente und berechnest Wahrscheinlichkeiten. Das Werfen einer Münze oder das Ziehen von Kugeln aus einer Urne stellst du in Baumdiagrammen dar. Schwierige Zufallsexperimente kannst du gut mit Vierfeldertafeln untersuchen.
Meistens lernst du Mathematik Stück für Stück in kleinen Portionen. Das ist auch genau richtig! Aber wenn du echte Probleme löst, brauchst du dein Wissen aus allen mathematischen Bereichen. Dann kommen Gleichungen, Funktionen und Geometrie zusammen. Um das zu trainieren, gibt es hier ganz viele Anwendungsaufgaben, bei denen du die vielen einzelnen Mathekenntnisse vernetzt.
Online-Nachhilfe in Mathe
Hast du Probleme in Mathe? Dann ist Online-Nachhilfe oft hilfreich.
Wozu Mathematik?
„Mathe brauch ich doch nie wieder!“ Hast du das schon mal gedacht? Gut, Ingenieure und Physiker brauchen Mathe, aber doch kein normaler Mensch.
Das ist nicht ganz richtig, viele Betriebe klagen über schlechte Rechenkenntnisse ihrer Azubis. Das sind ganz normale Betriebe aus dem kaufmännischen oder produzierenden Gewerbe. In vielen Jobs brauchst du grundlegende Rechenfertigkeiten wie Prozentrechnung, Dreisatz,Formeln oder auch Einheiten.
Wenn du BWL, Maschinenbau oder Informatik studierst, hast du auch mit komplexen mathematischen Modellen zu tun. Selbst in Studiengängen wie Psychologie oder Soziologie kommt viel Statistik vor, also Mathe.
Vom Beruf mal abgesehen: Was ist, wenn du deine Stromkosten nachrechnen möchtest? Wenn du eine Versicherung abschließen willst und Angebote vergleichst? Wenn du die laufenden Kosten von Automodellen vergleichst? Da musst du rechnen. Klar kannst du auch irgendwas kaufen, aber nur mit Mathe kannst du eine gute Entscheidung treffen, die du morgen nicht bereuen wirst.
Wenn du in Mathe ranklotzt, hast du bessere Berufschancen und musst nicht blind Versprechungen von irgendwelchen Anbietern vertrauen.
Zugegeben, Mathe kann echt abstrakt sein und manche finden nie Spaß an Zahlen. Aber wenn du einmal den Anschluss verloren hast, ist es schwer, wieder reinzukommen. Die Themen in Mathe bauen aufeinander auf und kommen immer dran. Das ist das sogenannte Spiralcurriculum. Bruchrechnung lernst du in der 5. Klasse, brauchst du aber immer noch für Aufgaben aus Klasse 10 oder später.
Also am besten immer gleich pauken. Und am besten mit kapiert.de, denn da sind alle Themen der Sekundarstufe I (Klasse 5 - 10) drin.
Mathematikunterricht in der Sekundarstufe
Elementar wichtig ist das Rechnen: Das geht von schriftlichen Rechenverfahren über Bruchrechnung, Dezimalzahlen, negativen Zahlen bis hin zu Wurzeln. Diese Rechenfertigkeiten sind wiederum die Grundlage für Prozentrechnung und Dreisatz, was meistens in Klasse 7 kommt. Dabei begleiten dich immer Größen und ihre Einheiten, die du auch mal umrechnen musst.
Dann lernst du Variablen kennen. Du rechnest nicht mehr mit konkreten Zahlen, sondern hast einen Platzhalter für beliebige Zahlen! Damit kannst du mit Termen umgehen und Gleichungenlösen. Du wirst lineare und quadratische Gleichungen und Gleichungssysteme lösen. Mit Gleichungssystemen kannst du Tarife vergleichen. Voraussetzung ist, dass du fit in den Rechenfertigkeiten bist.
Das alles sind die Voraussetzungen für Funktionen: Damit kannst du die Abhängigkeit von 2 Größen untersuchen und damit rechnen. Diese Abhängigkeit sieht verschieden aus: Du gehst mit linearen, quadratischen und exponentiellen Funktionen um und berechnest Nullstellen, Funktionswerte, Schnittpunkte, Scheitelpunkte. Kaum zu glauben, aber mit all dem kannst du dann Anwendungen aus dem „echten“ Leben berechnen: Kostenmodelle aufstellen, das Bevölkerungswachstum beschreiben oder einfach voraussagen, wann der Treibstoff ausgeht.
Richtig spannend wird es mit der Sinus- und Kosinusfunktion. Das Besondere ist, dass sie periodisch sind. Schwingungen wie Töne kannst du mit Sinusfunktionen beschreiben.
Eng verzahnt mit der Rechnerei sind die Gebiete Geometrie und Stochastik.
In der Geometrie geht’s vor allem um Flächen und Körper, wie Dreieck, Rechteck, Quader, Zylinder, Pyramide und wie sie alle heißen. Du kannst Flächeninhalte der Figuren oder Volumina der Körper berechnen. So kriegst du raus, wie viel Material eine Verpackung braucht und wieviel in eine Packung eigentlich reinpasst.
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du Längen in Dreiecken berechnen. Bei Strahlensätzen geht es um Längenverhältnisse.
In der Stochastik berechnest du die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse oder untersuchst Daten. Für Daten gibt es bestimmte Kenngrößen wie das arithmetische Mittel. Das geht schon in den Bereich Statistik. Daten werden für alles Mögliche ermittelt: Nutzung von Apps, Verkehr, Ernährung.
Mathematik mit kapiert.de
In kapiert.de findest du all die Mathe-Themen aus dem Lehrplan erklärt: anschaulich, Schritt für Schritt, mit ganz vielen Beispielen und mit Videos. Mathe verstehst du am besten an Beispielen, in Verbindung mit verständlich formulierten Regeln. So geht kapiert.de vor.
Aber lesen oder gucken allein reicht nicht: Du musst das selber machen. Dazu gibt es auf kapiert.de in Mathe rund 4100 Übungsaufgaben und fast 6000 Testaufgaben. (Klassen 5 - 10) Die Aufgaben gehen von einfach zu schwer und beim Üben bekommst du gleich Feedback und Lösungshinweise, wenn du Fehler gemacht hast. Du kannst auch selber mithilfe eines Formel-Editors Brüche oder Wurzeln eingeben oder in Geometrie Figuren zeichnen.
Wenn du kontinuierlich mit kapiert.de trainierst, wirst du im Mathe-Unterricht nicht den Anschluss verlieren und dann läuft’s auch in Ausbildung oder Studium!