Rationale und irrationale Zahlen unterscheiden

Was sind rationale Zahlen $$QQ$$ ?

Rationale Zahlen kannst du so darstellen:

Art der Schreibweise Beispiel
Positive und
negative Brüche
$$+2/3, -2/3$$
Periodische
Dezimalzahlen
$$0,bar6=0,66666…$$ $$-0,bar3=0,33333…$$
Abbrechende Dezimalzahlen $$0,66$$
$$-0,33$$

Mengenschreibweise von $$QQ$$

$$QQ={$$ $$a/b | $$ $$a$$ sei eine ganze Zahl, $$b$$ sei eine natürliche Zahl, $$ b!=0}$$

Rationale und irrationale Zahlen unterscheiden

So wandelst du Brüche in Dezimalbrüche um

Brüche kannst du entweder in periodische oder abbrechende Dezimalbrüche umwandeln. Dazu dividierst du Zähler durch Nenner:

Beispiel:

$$7/11=   ?$$


$$7:11=0,$$$$6$$$$3…$$
$$7$$$$0$$
$$ul66$$
$$4$$$$0$$
$$ul33$$
$$7$$


Also: $$7/11=0,bar63$$





  • Die $$11$$ passt nicht in die $$7$$, also $$0$$.
  • Schreibe eine $$0$$ hinter die $$7$$.
  • $$11$$ passt $$6$$ mal in die $$70$$,   $$6*11=$$ $$66$$
  • $$70-66=4$$, schreibe eine $$0$$ hinter die $$4$$.
  • $$11$$ passt $$3$$ mal in die $$40$$,   $$3*11=$$ $$33$$.
  • $$40-33=$$$$7$$ $$->$$ Ab hier ist es periodisch, da sich die $$7$$ wiederholt.

Oder andersherum. So wandelst du Dezimalbrüche in Brüche um:

Denke dir im Nenner eine $$1$$ und erweitere so lange, bis das Komma weg ist.

Beispiel:

  • $$0,5=0,5/1=5/10=1/2$$
  • $$0,bar63=0,63/0,99=63/99=7/11$$
    (Da die Dezimalzahl periodisch ist, nimmst du im Nenner die Zahl 0,99 und nicht 1)

Was sind irrationale Zahlen?

Irrationale Zahlen kannst du nicht wie rationale Zahlen als Bruch, periodische oder abbrechende Zahl darstellen.


Sie sind nicht-periodisch und unendlich.


Beispiele:

$$sqrt(2)=1,414213562…$$

$$1,41441444144441444441…$$


Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen sind immer irrationale Zahlen.

Manche Wurzeln kannst du schon ziehen

  • $$sqrt(9)=3$$
  • $$sqrt(0,16)=0,4$$, da $$0,4*0,4=0,16$$
  • $$sqrt(4/9)=2/3$$, da
    $$2*2=4$$ und $$3*3=9$$

Dabei helfen dir die Quadratzahlen $$1, 4, 9, 16, 25, …$$

Hinweis: Quadratzahlen sind stets natürliche Zahlen.

Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.de kann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager

Irrationale Zahlen in ein Intervall schachteln

Mit der Intervallschachtelung kannst du irrationale Zahlen als Dezimalzahl darstellen, ohne die Wurzeltaste deines Taschenrechners zu benutzen.

Beispiel: $$sqrt(2)$$

1. Schritt: Das erste Intervall finden.

Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt $$sqrt(2)$$ ?

  • Probiere es mit den Quadratzahlen $$1$$, $$4$$, $$9$$ und $$sqrt(2)^2$$ aus.
  • Da $$1^2=1le2le2^2=4$$ liegt $$sqrt(2)$$ zwischen $$1$$ und $$2$$.
  • Wähle immer das kleinste Intervall, in dem der Wert $$2$$ auch vorhanden ist. Also nicht etwa $$[1;9]$$, sondern eben $$[1;2]$$.

Intervall

Ein Intervall ist eine Zahlenmenge zwischen zwei Zahlen.

Das geschlossene Intervall $$[2;5]={x in QQ|-2lexle5}$$ enthält die $$-2$$ und die $$5$$ und alle rationalen Zahlen dazwischen.

Rationale und irrationale Zahlen unterscheiden

Die Intervallschachtelung enger wählen

Rationale und irrationale Zahlen unterscheiden

Hinweis: Blau markierte Rechenschritte berechnest du mit dem Taschenrechner.

2. Schritt: Schachtele das Intervall weiter ein.

  • Füge dazu eine Nachkommastelle an.
  • Probiere mit dem Taschenrechner, zwischen welchen der Zahlen $$(1,1)^2, (1,2)^2, (1,3)^2, … , (1,9)^2$$ die Zahl $$2$$ liegt.
  • $$1,4lesqrt(2)le1,5$$ , weil $$(1,4)^2=1,96$$$$le2le$$$$(1,5)^2=2,25$$


3. Schritt: Zwei Nachkommastellen

  • Berechne mit dem Taschenrechner, zwischen welchen der Zahlen $$(1,41)^2,(1,42)^2,(1,43)^2,…,(1,49)^2$$ die Zahl $$2$$ liegt.
  • $$1,41lesqrt(2)le1,42$$ ,
    weil $$(1,41)^2=1,9881$$$$le2le$$$$(1,42)^2=2,0164$$


4. Schritt: Drei Nachkommastellen

  • Berechne mit dem Taschenrechner, zwischen welchen der Zahlen $$(1,411)^2,(1,412)^2,(1,413)^2,…,(1,419)^2$$ die Zahl $$2$$ liegt.
  • $$1,414lesqrt(2)le1,415$$ ,
    weil $$(1,414)^2=1,999396$$$$le2le$$$$(1,415)^2=2,002225$$

So kannst du $$sqrt(2)$$ immer exakter einschachteln und bekommst einen Näherungswert.

Beweis durch Widerspruch: $$sqrt(2)$$ ist irrational

I. Behauptung: $$sqrt(2)$$ ist irrational


II. Annahme: $$sqrt(2)$$ ist rational (ist ein gekürzter Bruch)


Zu zeigen: Es entsteht ein Widerspruch.


Vorüberlegungen:

  • Wenn du eine Zahl $$n$$ mit $$2$$ multiplizierst, so ist das Ergebnis eine gerade Zahl $$(2*n)$$.
  • Ist das Quadrat einer Zahl gerade, so ist es auch die Zahl selbst. Beispiel: 64 ist gerade und 8 auch.
  • Brüche kann man kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.

Widerspruchsbeweis
Bei diesem Beweisverfahren zeigst du eine Behauptung, indem du das Gegenteil der Behauptung annimmst und das zum Widerspruch führst.

Ablauf:

I. Behauptung

II. Annahme mit dem Gegenteil der Behauptung

III. Widerspruch

IV. Annahme falsch, Behauptung gilt


Schon ca. 300 v. Chr. zeigte der Mathematiker Euklid, dass $$sqrt(2)$$ eine irrationale Zahl ist. Auch er führte einen Widerspruchsbeweis durch.

Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.de kann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager

Beweis durch Widerspruch: $$sqrt(2)$$ ist irrational

Beweisschritt Erläuterungen
1) $$sqrt(2)=p/q$$ $$sqrt(2)$$ ist laut Behauptung als gekürzter Bruch darstellbar
($$p$$ und $$q$$ haben keinen gemeinsamen Teiler).
2) $$2=p^2/q^2$$ Quadrieren beider Seiten der Gleichung.
3) $$2*q^2=p^2$$ Umformen der Gleichung nach $$p$$.
4) $$p^2$$
ist gerade
Das folgt aus der Darstellung von $$p$$.
5) $$p$$
ist gerade
Das folgt aus der zweiten Vorüberlegung.
6) $$p=2*n$$ $$p$$ ist gerade, also das Doppelte einer beliebigen Zahl $$n$$.
7) $$p^2=4*n^2$$ Quadrieren beider Seiten der Gleichung.

Beweis durch Widerspruch: $$sqrt(2)$$ ist irrational

Beweisschritt Erklärung
8) $$4*n^2=2*q^2$$ Gleichsetzen von $$p^2=4*n^2$$ und $$p^2=2*q^2$$.
9) $$2*n^2=q^2$$ Division durch 2.
10) $$q^2$$
ist gerade
Das folgt aus der Darstellung von $$q^2$$.
11) $$q$$ ist gerade Das folgt aus der zweiten Vorüberlegung.
12) $$q=2*m$$ $$q$$ ist gerade, also das Doppelte einer beliebigen Zahl $$m$$.
13) $$sqrt(2)=p/q=(2*n)/(2*m)$$ $$p$$ und $$q$$ sind gerade und beide durch $$2$$ teilbar.

III. Das ist ein Widerspruch zur Annahme.

$$p$$ und $$q$$ haben doch einen gemeinsamen Teiler. Somit ist $$sqrt(2)$$ doch kein gekürzter Bruch.

IV. Die Annahme ist falsch, die Behauptung gilt.

Damit ist bewiesen: $$sqrt(2)$$ ist irrational.



Noch nicht kapiert?

Screenshot kapiert.de Mathe Aufgaben EdM

Das Thema macht dir noch Schwierigkeiten?
Teste das Lernportal von kapiert.de!

  • alle Themen aus deinem Schulbuch
  • interaktive Übungen und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Video-Chat mit Tutoren in allen Fächern

Die Testlizenz endet nach 14 Tagen automatisch. Es entstehen keine Kosten.

Ich habe die AGB und Datenschutzhinweise gelesen und stimme ihnen zu.