Winkelsumme in Vielecken

Ecken hier und Ecken da - Vielecke

Vielecke sind geometrische Formen mit vielen Ecken.
Jedes Vieleck kann unterschiedlich viele Ecken haben.

Ein Dreieck besitzt 3 Ecken.

Winkelsumme in Vielecken

Ein Viereck besitzt 4 Ecken.

Winkelsumme in Vielecken

Ein Fünfecke besitzt 5 Ecken.

Winkelsumme in Vielecken

Ein Sechseck besitzt 6 Ecken.

Winkelsumme in Vielecken

Ein Siebeneck besitzt 7 Ecken.

Winkelsumme in Vielecken




Ein 28654-Eck besitzt 28654 Ecken.




Aller guten Dinge sind DREI

Gülcan zeichnet ein Dreieck auf ihren Malblock. Sie misst alle Innenwinkel und addiert diese. Sie kommt auf ein Ergebnis von 180°.

Winkelsumme in Vielecken

$$alpha + beta + gamma = 83^°+42^°+55^° =180^°$$

Sie zeichnet ein anderes Dreieck und misst wieder alle Innenwinkel. Sie addiert alle und erhält erneut als Ergebnis 180°.

Winkelsumme in Vielecken

$$alpha + beta + gamma = 50^°+70^°+60^° =180^°$$

Gülcan ist verwundert und probiert es noch einmal aus.
Sie zeichnet ein drittes Dreieck. Dieses sieht ganz anders aus als alle anderen. Sie misst wieder die Innenwinkel und addiert sie. Das Ergebnis ist verblüffend. Sie erhält als Summe wieder 180°.

Winkelsumme in Vielecken

$$alpha + beta + gamma = 26^°+135^°+19^° =180^°$$

Die Winkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°.

$$alpha + beta + gamma = 180°$$








Die Summe aller Innenwinkel heißt Winkelsumme.

Warum immer 180°?

Wenn du genauer wissen willst, warum das so ist:


Winkelsumme in Vielecken

Auf dem Bild ist $$alpha$$ genauso groß wie $$alpha_1$$. Das Gleiche gilt für $$beta$$ und $$beta_1$$.
Legst du alle Winkel nebeneinander, so erhältst du einen gestreckten Winkel. Ein gestreckter Winkel ist 180° groß.

Addierst du die Winkelgrößen von $$alpha$$, $$beta$$ und $$gamma$$, so erhältst du als Ergebnis die Summe von 180°.

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Was mit Dreiecken klappt funktioniert auch mit Vierecken

Gülcan will es nun wissen.

Sie möchte gern herausfinden, wie groß die Winkelsumme in Vierecken ist und ob sie alle gleich groß sind.

Sie zeichnet drei verschiedene Vierecke. Sie misst in jedem Viereck alle Innenwinkel und addiert diese. Sie kommt jeweils auf 360°.

Winkelsumme in Vielecken

$$alpha + beta + gamma + delta = 33^°+141^°+43^° +143^°=360^°$$

Winkelsumme in Vielecken

$$alpha + beta + gamma + delta = 82^°+76^°+90^° +112^°=360^°$$

Winkelsumme in Vielecken

$$alpha + beta + gamma + delta = 38^°+142^°+ 120^° + 60^°=360^°$$

Die Winkelsumme in jedem Viereck beträgt 360°.

$$alpha + beta + gamma + delta= 360°$$

Warum immer 360°?

Wenn du genauer wissen willst, warum das so ist:


Winkelsumme in Vielecken

Jedes Viereck kannst du in 2 Dreiecke teilen. Von Dreiecken kennst du die Innenwinkelsumme, sie ist ja 180°. Du rechnest für die Innenwinkelsumme im Viereck also 2$$*$$180° = 360°.

Nach dem Viereck kommt das Fünfeck

Gülcan ist hin und weg.
Sie zeichnet ganz viele verschiedene Fünfecke.
Sie vermutet, dass alle Innenwinkel zusammen 540° betragen.
Sie misst alle Innenwinkel von jedem Fünfeck und addiert sie jeweils. Ihr Ergebnis ist immer 540°.

Winkelsumme in Vielecken

$$alpha + beta + gamma + delta + epsilon= 69^°+150^°+92^° +104^°+125^°=540^°$$

Winkelsumme in Vielecken

$$alpha + beta + gamma + delta + epsilon= 35^°+226^°+79^° +71^°+129^°=540^°$$


Woher wusste Gülcan das?

Vieleck Winkelsumme Vermutung
Dreieck 180° 180°
Viereck 360° 180°$$+$$180°$$=$$360°
Fünfeck 540° 180°$$+$$180°$$+$$180°$$=$$540°



Gülcan begann mit einem Dreieck. Dieses hatte eine Winkelsumme von 180°.
Das Viereck hat eine Ecke mehr als das Dreieck.
So ist die Winkelsumme 180°$$+$$180°$$=$$ 360°. Ein Mal 180° mehr.
Das Fünfeck hat zwei Ecken mehr als das Dreieck. So ist die Winkelsumme 180°$$+$$180°$$+$$180°$$=$$ 540°. Zwei Mal 180° mehr.

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Vielecke kreuz und quer

Gülcan hat der Forschergeist gepackt.

Sie schaut sich viele verschiedene Vielecke an. Dabei entdeckt sie einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Ecken und der Anzahl der zu multiplizierenden 180°.

Vieleck Winkelsumme Zusammenhang
Dreieck 1 $$cdot$$ 180° = 180 3 – 2 = 1
Viereck 2 $$cdot$$ 180° = 360° 4 – 2 = 2
Fünfeck 3 $$ cdot$$ 180° = 540° 5 – 2 = 3
Sechseck 4 $$ cdot$$ 180° = 720° 6 – 2 = 4
Siebeneck 5 $$cdot$$ 180° = 900° 7 – 2 = 5
Achteck 6 $$cdot$$ 180° = 1080° 8 – 2 = 6
234-Eck 232 $$cdot$$ 180° = 41760° 234 – 2 = 232



Sie kann jetzt die Winkelsumme von einem beliebigen Vieleck bestimmen, ohne es zu zeichnen und die Innenwinkel zu messen.

Einmal andersherum

Gülcans Freundin Karla kommt sie besuchen.
Sie erzählt Karla ganz freudig, was sie herausgefunden hat.
Karla ist neugierig und möchte Gülcan testen und fragt sie:
„Welches Vieleck hat eine Winkelsumme von 1980°?“

Gülcan überlegt kurz und antwortet: „Ein Dreizehneck.“

Karla ist beeindruckt und möchte wissen, wie Gülcan das gemacht hat.
Gülcan schreibt ihren Rechenweg auf.

Winkelsumme in Vielecken


$$11 + 2 =13$$

Gülcan hat ihren entdeckten Rechenweg umgedreht.
Sie kontrolliert zur Sicherheit noch einmal ihr Ergebnis:

$$13 - 2 = 11$$
$$11 cdot 180° = 1980°$$

Gülcan hat richtig gerechnet und Karla ist begeistert. ;)



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