Funktionsgleichung berechnen (Punkt und Steigung)

Mit $$m$$ und $$P$$ zur Funktionsgleichung

Manchmal sollst du aus einem Punkt $$P$$ und der Steigung $$m$$ die Funktionsgleichung ermitteln.

Gegeben:

  • Punkt $$P(6|3)$$
  • Steigung $$m = 2/3$$

Du weißt, dass die Funktionsgleichung die Form $$f(x)=mx+b$$ haben muss.

1. Schritt: Die Steigung ist gegeben, also $$f(x) = 2/3 x + b$$. Den Achsenabschnitt $$b$$ kennst du noch nicht.

2. Schritt: Setze die Koordinaten des Punkts $$P(6|3)$$ in die halb fertige Funktionsgleichung ein:

$$ f (6) = 3$$

$$ 2/3 *6 + b = 3$$

3. Schritt: Löse nach $$b$$ auf:

$$2/3 *6 + b = 3 $$

$$ 4 + b = 3 | –4$$

$$ b = –1$$

4. Schritt: Schreibe den Funktionsterm auf:

$$f(x) = 2/3 x – 1$$

Mit $$m$$ und $$P$$ zur Funktionsgleichung

Aus den Koordinaten eines Punkts $$P(x_P|y_P)$$ und dem Wert der Steigung $$m$$ kann man den zugehörigen linearen Funktionsterm berechnen:

Der Funktionsterm ist $$f(x) =m x + b$$, $$m$$ ist gegeben, $$b$$ musst du noch berechnen.

Setze die Koordinaten des Punkts $$P$$ in die halb fertige Funktionsgleichung ein:

$$f (x_P) = y_P$$

$$m*x_P + b = y_P$$

Löse nach $$b$$ auf.

Schreibe den Funktionsterm auf:

$$f(x) = mx + b$$

Funktionsgleichung – $$m$$ und $$P$$ in Anwendungsaufgaben

Ayse und Peter machen eine Radtour an einem Fluss entlang, so dass sie mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit von 15 km/h fahren können. Nach 2 h sind sie noch 50 km vom Ziel entfernt.

Ermittle eine Funktionsgleichung, mit der du herausfinden kannst, wie lang die Gesamtstrecke ist und wann sie ankommen.

Du weißt, dass die Funktionsgleichung die Form $$f(x)=mx+b$$ haben muss.

1. Schritt: Die Steigung ist durch die Geschwindigkeit gegeben, die Entfernung zum Ziel nimmt um 15 km pro h ab.

Also $$f(x) = – 15 x + b$$.

Den Achsenabschnitt b kennst du noch nicht, es ist die Entfernung zum Ziel zu Beginn der Fahrt, also die Länge der Gesamtstrecke.

2. Schritt: Außer der Geschwindigkeit ist ein Punkt des Graphen gegeben: $$P(2|50)$$. Setze die Koordinaten des Punkts $$P(2|50)$$ in die halb fertige Funktionsgleichung ein:

$$f (2) = 50$$

$$-15*2+ b = 50$$

3. Schritt: Löse nach $$b$$ auf:

$$-15*2+ b = 50$$

$$–30 + b = 50$$   $$| +30$$

$$b = 80$$

4. Schritt: Schreibe den Funktionsterm auf:

$$f(x) = -15*x+80$$

Die Gesamtstrecke ist also 80 km lang. Die Fahrzeit erhältst du, wenn du die Nullstelle der Funktion berechnest.
























Eine Nullstelle ist die Stelle $$x$$, an der die Funktion $$f$$ den $$y$$-Wert $$0$$ hat. Es gilt $$f(x)=0$$.

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