Gleichungen und Formeln

Gleichungen mit mehr als einer Variablen

In dieser Einheit lernst du, dass man Gleichungen auch mit mehr als einer Variablen lösen kann, wenn bestimmte Bedingungen vorgegeben sind.
Du kannst Gleichungen mit vielen Variablen auch nach einer gewünschten Variablen umstellen.

Gleichungen lösen

Wenn vorgegeben ist, dass du eine Gleichung nur mit natürlichen Zahlen (ohne 0) lösen sollst, ist eine Lösungsmenge endlich, wenn folgende Gleichung vorliegt:

+ = 5
Wenn = 1, dann ist = 4.
Wenn = 2, dann ist = 3.
Wenn = 4, dann ist = 1.
Wenn = 3, dann ist = 2.

Die Lösung betrachtest du immer in Abhängigkeit von der zweiten Variablen.

Gleichungen umstellen

Du kannst Gleichungen mit vielen Variablen auch beliebig umstellen. Die Regieanweisung befolgst du auf beiden Seiten der Gleichung.

+ = 5  | -
- + =5 -
= 5 -

Die Kontrolle deiner gefundenen Lösung fertigst du durch die Probe an. Für setzt du „5 - “ ein. Es muss eine wahre Aussage heraus kommen.

+ 5 - = 5
5 = 5

Warum das alles?

Gleichungen mit vielen Variablen heißen auch Formeln. Formeln nutzt du immer gleich. Du kannst bekannte Zahlen einsetzen und dann unbekannte Zahlen berechnen.

Beispiel: Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks lautet:
$$A = a * b$$

Wenn jetzt aber der Flächeninhalt und eine Seite bekannt ist, stellst du die Formel mithilfe deiner Gleichungskenntnisse um.
$$A = a · b  | : b$$
$$A:b = a$$

Mit Zahlen sieht das so aus:
Ein Rechteck hat eine Seitenlänge von 8 cm. Der Flächeninhalt beträgt 72 cm².
Wie lang ist die andere Seite?
$$A = a · b$$ ist die Formel.
$$72 = a · 8   | : 8$$
$$9 = a$$
Antwort: Die andere Seite ist 9 cm lang.

Das Tolle daran:

Auch Formeln, die dir nichts sagen, kannst du umstellen.

$$ x$$0 $$= -b/m$$

Du wendest einfach die bekannten Regieanweisungen an. Willst du hier nach $$b$$ umstellen, rechnest du erst $$* m$$

$$x_0 = -b/m  | ·m$$

$$x_0*m=-b$$

Jetzt musst du die Formel noch mit $$-1$$ multiplizieren.

$$-x_0 *m= b$$

Jetzt kannst du $$b$$ berechnen, wenn du $$x$$0 und $$m$$ gegeben hast.

Die Formel $$x$$0$$ = -b/m$$ berechnet den Schnittpunkt einer Geraden mit der $$x$$-Achse.
$$m$$ ist die Steigung der Geraden.
$$b$$ ist der Schnittpunkt der Geraden mit der $$y$$-Achse.

Gleichungen mit dem Formel-Editor

So gibst du Zahlen und Variablen in kapiert.de ein:



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