Wahrscheinlichkeiten mit der Produktregel berechnen

Ausgangssituation: Kartenziehen

Lena zieht aus einem Skat-Spiel mit 32 Karten nacheinander 3 Spielkarten.

Lena möchte wissen, wie wahrscheinlich es ist, nur rote Karten zu ziehen.

Dazu bestimmt Lena zunächst die Anzahl aller Möglichkeiten, nacheinander 3 beliebige Spielkarten zu ziehen.

Dabei wendet Lena die Produktregel der Kombinatorik an.

Wahrscheinlichkeiten mit der Produktregel berechnen

Ein Skatblatt besteht aus folgenden Karten:

  • 8 rote Herz-Karten
  • 8 rote Karo-Karten
  • 8 schwarze Pik-Karten
  • 8 schwarze Kreuz-Karten

In jeder Farbe gibt es jeweils vier Zahlenkarten von 7 bis 10 sowie die vier Bildkarten Bube, Dame, König und As.

Produktregel der Kombinatorik:

Nacheinander soll eine bestimmte Anzahl von Entscheidungen getroffen werden. Bei jeder dieser Stufen steht eine bestimmte Anzahl von Möglichkeiten zur Auswahl.

Auf der 1. Stufe gibt es $$n_1$$ Möglichkeiten, auf der 2. Stufe $$n_2$$ Möglichkeiten, … (usw.) und auf der k. Stufe $$n_k$$ Möglichkeiten.

Gesamtzahl der Möglichkeiten: $$n_1*n_2*…*n_k$$

Gesamtzahl der Möglichkeiten

Lena muss zunächst festlegen, ob sie die Spielkarten mit oder ohne Zurücklegen zieht.

Mit Zurücklegen: $$32*32*32$$ Möglichkeiten
Ohne Zurücklegen: $$32*31*30$$ Möglichkeiten

Mit Zurücklegen:

Lena legt die gezogene Karte jedes Mal sofort wieder zurück und mischt das Kartenspiel gut durch.

Ohne Zurücklegen:

Lena legt die gezogene Karte vor jedem neuen Zug nicht wieder zurück.

Anzahl der günstigen Ereignisse

Nun überlegt Lena, welche Karten sie ziehen kann, damit ihre Ausgangsfrage erfüllt ist.

Lenas Ausgangsfrage war: Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Zügen nur rote Karten zu ziehen?

Es gibt 16 rote Spielkarten in einem Skat-Spiel.

Mit Zurücklegen: $$16*16*16$$ Möglichkeiten
Ohne Zurücklegen: $$16*15*14$$ Möglichkeiten

Der Mathematiker spricht von günstigen Ereignissen.

Lenas Ausgangsfrage:

Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Zügen nur rote Karten zu ziehen?

Berechnung der Wahrscheinlichkeit

Das Kartenspiel wird gut gemischt und alle Karten sehen gleich aus. Jede Spielkarte kann mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen werden. Ein solcher Vorgang wird Laplace-Experiment genannt.

Für Laplace-Experimente gilt:

$$P =(Anzahl\ der\ günsti\g\e\n\ Er\g\ebnisse)/(Anzahl\ der\ möglichen\ Er\g\ebnisse)$$

Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von 3 roten Karten beim Ziehen mit Zurücklegen:

$$P\ (3\ rote\ Karten) = (16*16*16)/(32*32*32)$$

Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von 3 roten Karten beim Ziehen ohne Zurücklegen:

$$P (3\ rote\ Karten) = (16*15*14)/(32*31*30)$$

Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich.

Würfeln mit einem fairen Würfel ist ebenfalls ein Laplace-Experiment.

Berechnung in komplexen Situationen

Nun möchte Lena außerdem wissen, wie wahrscheinlich es ist, 3 gleichfarbige Karten zu ziehen.

Lena berechnet die Anzahl der günstigen Ergebnisse aus der Summe der Möglichkeiten, 3 schwarze Karten zu ziehen oder 3 rote Karten zu ziehen.

Mit Zurücklegen: $$16*16*16 + 16*16*16$$ Möglichkeiten
Ohne Zurücklegen: $$16*15*14 + 16*15*14$$ Möglichkeiten

Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von 3 gleichfarbigen Karten beim Ziehen mit Zurücklegen:

$$P\ (3\ g\l\eichfarbi\g\e\ Karten) = (16*16*16 + 16*16*16)/(32*32*32)$$

Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von 3 gleichfarbigen Karten beim Ziehen ohne Zurücklegen:

$$P\ (3\ g\l\eichfarbi\g\e\ Karten) = (16*15*14 + 16*15*14)/(32*31*30)$$

Lenas neue Frage:

Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Zügen nur gleichfarbige Karten zu ziehen?


Die Bedingung „gleichfarbige Karten“ ist erfüllt, wenn Lena entweder nur rote oder nur schwarze Karten zieht.

Ausgangssituation: Spielabbruch

Simon und Tobias werfen eine Münze. Gewinner ist, wer als erstes 5 Spiele gewinnt.

Nach 5 Würfen hat Simon 3-mal gewonnen und Tobias 2-mal.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Simon zum jetzigen Zeitpunkt Gesamtsieger?





Ausgangsfrage:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Simon zum Gesamtsieger?

Lösungsansatz

Simon überlegt zunächst, nach wie vielen Spielen der Gesamtsieger spätestens feststeht.

Um zu gewinnen, benötigt Simon noch 2 weitere Siege. Tobias benötigt noch 3 weitere Siege.

Nach 3 weiteren Spielen könnte Simon also noch 1 weiteres Spiel gewonnen haben und Tobias noch 2 Spiele. Der Sieger steht noch nicht fest.

Das nächste Spiel ist entscheidend: Nach 4 weiteren Spielen steht der Gewinner spätestens fest.










Nach 4 weiteren Spielen steht der Gewinner spätestens fest.

Header

Simon überlegt sich alle Kombinationsmöglichkeiten für Spielverläufe, bei denen die Münze 4-mal geworfen wird.

Es gibt $$2*2*2*2 = 16$$ Kombinationsmöglichkeiten:

SSSS SSTT STTT
SSST STST TSTT
SSTS STTS TTST
STSS TSST TTTS
TSSS TSTS TTTT
TTSS

Bei den Spielen in der linken und in der mittleren Spalte gewinnt Simon.

Bei 11 der 16 unterschiedlichen Kombinationsmöglichkeiten wird Simon Gesamtsieger.

$$P\ (Simon\ Gesamtsie\g\er) = 11/16$$

Bei 5 der 16 unterschiedlichen Kombinationsmöglichkeiten wird Tobias Gesamtsieger.

$$P\ (Tobias\ Gesamtsie\g\er) = 5/16$$





Simon tut so, als ob jeder Spielverlauf 4 Würfe lang ist, obwohl der Sieger in einigen Fällen bereits früher feststeht.

S steht für Simon
T steht für Tobias

Simon benötigt noch 2 weitere Siege, um zu gewinnen, Tobias 3.







In dem Simon alle Spielverläufe auf dieselbe Länge von 4 weiteren Würfen gebracht hat, ist jede Kombinationsmöglichkeit gleich wahrscheinlich und Simon kann die Produktregel für Laplace-Experiment anwenden.



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