Lineare Gleichungen mit besonderen Lösungsmengen lösen
Sonderfälle beim Gleichungslösen
Wenn du eine Gleichung löst, können diese Sonderfälle vorkommen:
Als Lösungsmenge sind alle rationalen Zahlen möglich. $$L={QQ}$$
Die Gleichung ist bei keiner eingesetzten Zahl richtig. $$L={$$ $$}$$
0 ist die Lösung der Gleichung. $$L={0}$$
1. Als Lösungsmenge sind alle rationalen Zahlen möglich. $$L={QQ}$$
Beispiel:
$$2*x+2=2*x+2$$ Du entfernst zwei $$x$$-Boxen.
$$2=2$$
Es entsteht eine wahre Aussage in der letzten Zeile der aufgelösten Gleichung.
Du kannst jetzt in die $$x$$-Box jedes beliebige Gewicht füllen. Da du es auf beiden Seiten der Waagschale tust, bleibt die Waage im Gleichgewicht hängen.
Schreibe die Lösungsmenge so auf: $$L={QQ}$$
ist die unbekannte Gewichtsbox.
steht für 1 kg.
Wenn du noch eine weitere Äquivalenzumformung durchführst, erhälst du $$0=0$$.
2. Die Gleichung ist bei keiner eingesetzten Zahl richtig. $$L={$$ $$}$$
Beispiel:
$$2*x+2=2*x+4$$ Du entfernst zwei $$x$$-Boxen.
$$2=4$$ Das ist eine falsche Aussage.
Die Gleichung ist nicht lösbar. Das heißt die Lösungsmenge ist leer.
Schreibe die Lösungsmenge so auf: $$L={$$ $$}$$
Zusammenfassung der beiden Sonderfälle:
Immer, wenn bei der Gleichung durch eine zugelassene Umformung das $$x$$wegfällt, hat die Gleichung
- entweder keine Lösung $$L={$$ $$}$$
- oder unendlich viele Lösungen $$L={QQ}$$.
Das Waage-Modell ist durchgestrichen, weil die Waage nicht im Gleichgewicht hängt.
3. 0 ist die Lösung der Gleichung.
$$L={0}$$
Beispiel:
$$5*x=7*x$$ $$|-7*x$$
$$-2*x=0$$ $$| :(-2)$$
$$x=0$$
$$L={0}$$
Wenn jede $$x$$-Box $$0$$ kg wiegt, hängt die Waage im Gleichgewicht.
Diese Umformung ist nicht zulässig:
$$5·x = 7·x$$ $$|:x$$
$$5=7$$
Hier würdest du davon ausgehen, dass $$x$$ nicht $$0$$ ist, denn durch 0 kannst du nicht dividieren. Die 0 ist aber gerade die Lösung.
