Lineare Gleichungen mit besonderen Lösungsmengen lösen

Sonderfälle beim Gleichungslösen

Wenn du eine Gleichung löst, können diese Sonderfälle vorkommen:

  1. Als Lösungsmenge sind alle rationalen Zahlen möglich.   $$L={QQ}$$

  2. Die Gleichung ist bei keiner eingesetzten Zahl richtig.   $$L={$$  $$}$$

  3. 0 ist die Lösung der Gleichung.   $$L={0}$$

1. Als Lösungsmenge sind alle rationalen Zahlen möglich. $$L={QQ}$$

Beispiel:

Lineare Gleichungen mit besonderen Lösungsmengen lösen

$$2*x+2=2*x+2$$ Du entfernst zwei $$x$$-Boxen.

Lineare Gleichungen mit besonderen Lösungsmengen lösen

$$2=2$$

Es entsteht eine wahre Aussage in der letzten Zeile der aufgelösten Gleichung.

Du kannst jetzt in die $$x$$-Box jedes beliebige Gewicht füllen. Da du es auf beiden Seiten der Waagschale tust, bleibt die Waage im Gleichgewicht hängen.

Schreibe die Lösungsmenge so auf: $$L={QQ}$$

Lineare Gleichungen mit besonderen Lösungsmengen lösen ist die unbekannte Gewichtsbox.

Lineare Gleichungen mit besonderen Lösungsmengen lösen steht für 1 kg.



Wenn du noch eine weitere Äquivalenzumformung durchführst, erhälst du $$0=0$$.

2. Die Gleichung ist bei keiner eingesetzten Zahl richtig.   $$L={$$  $$}$$

Beispiel:

Lineare Gleichungen mit besonderen Lösungsmengen lösen

$$2*x+2=2*x+4$$ Du entfernst zwei $$x$$-Boxen.

Lineare Gleichungen mit besonderen Lösungsmengen lösen

$$2=4$$ Das ist eine falsche Aussage.

Die Gleichung ist nicht lösbar. Das heißt die Lösungsmenge ist leer.

Schreibe die Lösungsmenge so auf: $$L={$$  $$}$$


Zusammenfassung der beiden Sonderfälle:

Immer, wenn bei der Gleichung durch eine zugelassene Umformung das $$x$$ wegfällt, hat die Gleichung

  • entweder keine Lösung   $$L={$$  $$}$$
  • oder unendlich viele Lösungen   $$L={QQ}$$.

Das Waage-Modell ist durchgestrichen, weil die Waage nicht im Gleichgewicht hängt.

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3. 0 ist die Lösung der Gleichung.
$$L={0}$$

Beispiel:

Lineare Gleichungen mit besonderen Lösungsmengen lösen

$$5*x=7*x$$   $$|-7*x$$

$$-2*x=0$$   $$|:(-2)$$

$$x=0$$

$$L={0}$$

Wenn jede $$x$$-Box $$0$$ kg wiegt, hängt die Waage im Gleichgewicht.

Lineare Gleichungen mit besonderen Lösungsmengen lösen

Diese Umformung ist nicht zulässig:

$$5·x = 7·x$$ $$|:x$$

$$5=7$$

Hier würdest du davon ausgehen, dass $$x$$ nicht $$0$$ ist, denn durch 0 kannst du nicht dividieren. Die 0 ist aber gerade die Lösung.



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