Umfang und Flächeninhalt von Trapezen berechnen

Vom Rechteck zum Trapez

Wenn du im Rechteck 2 Seiten aufeinander zu verschiebst, entsteht eine neue Sorte von Vierecken: das Trapez.

Umfang und Flächeninhalt von Trapezen berechnen

Die Seiten des Trapezes können alle verschieden lang sein. Also nimmst du 4 verschiedene Buchstaben zum Beschriften:

Umfang und Flächeninhalt von Trapezen berechnen

Im Rechteck sind alle gegenüberliegenden Seiten parallel.

Im Trapez sind nur zwei gegenüberliegende Seiten parallel.


Es gibt auch Trapeze, bei denen die Seiten $$b$$ und $$d$$ gleich lang sind. Diese werden gleichschenklige Trapeze genannt.

Umfang berechnen

Für den Umfang des Trapezes nutzt du die Formel für allgemeine Vierecke:

$$u$$ $$ = a + b + c + d$$

Umfang = Summe aller Seiten

Flächeninhalt berechnen

Du kennst schon die Flächeninhaltsformel für Rechtecke $$(A=a*b)$$ und Parallelogramme $$(A=a*h)$$.

Wie kannst du damit die Formel für das Trapez herleiten? Wenn du das Trapez verdoppelst, um 180 Grad drehst und rechts anfügst, dann erhältst du ein Parallelogramm.

Umfang und Flächeninhalt von Trapezen berechnen

Das hat allerdings nun nicht denselben Flächeninhalt wie das eine Trapez allein, sondern den doppelten.

Die Höhe des Ausgangstrapezes $$(h)$$ ist die Höhe für die ganze Figur, das Parallelogramm.

Die Grundseite besteht aus 2 Strecken: $$a$$ und $$c$$.
Die Grundseite ist also $$a+c$$ lang.

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Jetzt kommt die Formel

Für ein einfaches Parallelogramm gilt ja $$A = a * h$$ mit der Grundseite $$a$$.

In dem Parallelogramm mit den beiden Trapezen ist die Grundseite $$a+c$$. Also $$A = (a + c) * h$$. Das ist der Flächeninhalt für beide Trapeze. Halbiere ihn für den Flächeninhalt eines Trapezes:

$$A = (a + c) * h : 2$$

Mathematiker schreiben:

$$A = ((a+c)*h)/2$$

Umfang und Flächeninhalt von Trapezen berechnen


Weil das Mal-Zeichen $$(*)$$ stärker bindet als das Plus-Zeichen $$(+)$$, schreibst du hier Klammern. $$a +c$$ muss zuerst gerechnet werden.


Tipp Taschenrechner:

Willst du die Klammern nicht eingeben, dann gibst du zuerst die Werte für a und c ein und drückst dann auf die „$$=$$“-Taste.

Beispiel

Wie groß sind Fläche und Umfang dieses Trapezes?

Umfang und Flächeninhalt von Trapezen berechnen

Flächeninhalt:

Um den Flächeninhalt zu berechnen, addierst du zuerst die beiden parallelen Seiten ($$a$$ und $$c$$):

$$18 + 3 = 21$$

Das Ergebnis nimmst du mit der Höhe mal und teilst es dann durch $$2$$:

$$21 * 8 : 2= 84$$

Alles in einem Rutsch sieht dann so aus:

$$A= ((a+c)*h)/2 = ((18 cm + 3  cm) *8  cm)/2 = 84  cm^2$$


Umfang:

Für den Umfang kann die Rechnung so aussehen:

$$u = a + b + c + d$$

$$= 18  cm + 10  cm + 3  cm + 12  cm $$

$$= 43  cm$$

Zum Schluss

Was haben Parallelogramm und Trapez gemeinsam, was unterscheidet sie?

  • Bei beiden sind mindestens zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang.
  • Beim Parallelogramm sind die diagonal gegenüberliegenden Winkel gleich groß.

Ein Parallelogramm ist also auch ein Trapez. Alle Formeln für das Trapez lassen sich auch für das Parallelogramm benutzen. (Was nicht unbedingt sinnvoll ist, denn die Flächenformel für das Trapez ist komplizierter als die für das Parallelogramm.)

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