Quadratische Gleichungen mithilfe der quadratischen Ergänzung lösen

Die quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung fürs Lösen quadratische Gleichungen geht so:

 

Und zum Nachlesen

Lösen quadratischer Gleichungen in Normalform

Aufgabe

Die Seitenlängen eines Rechtecks unterscheiden sich um 4 cm und der Flächeninhalt ist 12 cm². Wie lang sind die beiden Seiten des Rechtecks?

Lösung

  • Wählst du die eine Seitenlänge mit x, dann hat die andere Seite die Länge x + 4 cm.
  • Für den gegebenen Flächeninhalt kannst du die folgende Gleichung (ohne Maßeinheiten) aufstellen und umformen.

    $$12=x·(x + 4)$$

    $$x^2+4x=12$$

  • Addierst du auf beiden Seiten der Gleichung 4, kannst du die binomischen Formeln anwenden.

    $$x^2+4x$$ $$+4$$ $$=12$$$$+4$$

    $$x^2+4x+4$$$$=16$$

    $$(x + 2)^2$$$$=16$$
    Daraus ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:
     1. Lösung:  $$x+2=4$$  mit $$x_1=2$$
     2. Lösung:  $$x+2=-4$$ mit $$x_2=-6$$.

  • Die zweite Lösung $$x_2=-6$$ entfällt, weil die Seiten eines Rechtecks nicht negativ sein können.

Flächeninhalt eines Rechtecks


A = a·b
Quadratische Gleichungen mithilfe der quadratischen Ergänzung lösen

Die Normalform einer quadratischen Gleichung

Quadratische Gleichungen kannst du so umformen, dass auf einer Seite der Gleichung $$0$$ steht.

Beispiel

$$3x^2+18=15x$$  $$|-15x$$

 $$3x^2-15x+18=0$$    $$|:3$$

$$x^2-5x+6=0$$

Diese Form der Gleichung heißt Normalform. Die Gleichung hat

  • einen Summanden mit $$x^2$$ (quadratisches Glied),
  • einen mit $$x$$ (lineares Glied) und
  • ein Summand ist eine Zahl (absolutes Glied).

Gleichungen der Form $$x^2 + px + q = 0$$ mit reellen Zahlen p und q sind quadratische Gleichungen in Normalform.

Beispiel

 $$x^2-5x+6=0$$,  $$p=-5$$ und $$q=6$$











quadratisches Glied: $$x^2$$
lineares Glied: $$-5x$$
absolutes Glied: $$6$$






Hier tritt das quadratische Glied mit dem Faktor $$1$$ auf.

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Methode der quadratischen Ergänzung

Die Methode der quadratischen Ergänzung kannst du zur Lösung der quadratischen Gleichungen in Normalform anwenden.

Beispiel

Löse die Gleichung $$x^2- 6x+5=0$$.

Lösungsschritte

  • Bringe das absolute Glied auf die andere Seite.

    $$x^2-6x+5=0$$  $$|-5$$

    $$x^2-6x=-5$$

  • Welche Zahl musst du ergänzen, damit du bei der Summe $$x^2-6x$$ eine binomische Formel anwenden kannst? Wegen des Minus ist es die 2. binomische Formel.

    $$x^2-6x$$$$+?$$$$=(x$$$$-?$$$$)^2$$

    $$x^2-6x+3^2=(x-3)^2$$

  • Diese Zahl (quadratische Ergänzung) addierst du auf beiden Seiten der Gleichung .

    $$x^2-6x+3^2=-5+3^2$$

    $$x^2-6x+9=4$$

  • Auf der linken Seite kannst du jetzt das Binom bilden.

    $$(x-3)^2=4$$

  • Ziehst du nun auf beiden Seiten die Wurzel, ist eine Fallunterscheidung notwendig.

    1. Fall: $$x-3=sqrt(4)=2$$

    2. Fall: $$x-3=-sqrt(4)=-2$$

Lösung

  • Durch Umstellen erhältst du die beiden Lösungen.

    1. Fall: $$x-3=2 rArr x_1 =5$$

    2. Fall: $$x-3=-2 rArr x_2=1$$

Lösungsmenge:  $$L={5;1}$$

Probe

  1. Lösung:    $$5^2-6*5+5=0  (?)$$

    $$25-30+5=0$$

    $$0=0$$

  2. Lösung: $$(-1)^2-6·(-1)+5=0  (?)$$

    $$1-6+5=0$$

    $$0=0$$






Binomische Formel:
$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$


Quadratische Ergänzung:
Term $$b^2$$, der die Summe zum Binom $$(a-b)^2 $$ergänzt.



Beachte!
$$(sqrt(4))^2=4$$ und $$(-sqrt(4))^2=4$$

Jetzt mit Brüchen

Sind die Koeffizienten in der quadratischen Gleichung Brüche, wird es etwas schwieriger.

Beispiel mit Dezimalbrüchen

Löse die Gleichung $$x^2+2,4x-0,25=0$$.

Lösungsschritte

  • Stelle die Gleichung um.

    $$x^2+2,4x-0,25=0$$   $$|+0,25$$

    $$x^2+2,4x=0,25$$

  • Addiere die quadratische Ergänzung.

    $$x^2+2,4x+1,44=0,25+1,44$$

  • Bilde das Binom.

    $$(x+1,2)^2=1,69$$

  • Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

    1. Fall: $$x+1,2=sqrt(1,69)$$

    2. Fall: $$x+1,2=-sqrt(1,69)$$

Lösung

1. Lösung: $$x+1,2=1,3 rArr x_1=0,1$$

2. Lösung: $$x+1,2=-1,3rArrx_2=-2,5$$

Lösungsmenge:  $$L={0,1;  -2,5}$$







Herleitung quadratische Ergänzung

$$a^2+2*a*b+b^2$$$$=(a+b)^2$$
$$x^2+ 2,4*x+1,44$$ $$=(?+?)^2$$ Zuordnung
$$a^2 =x^2 rArr a=x$$
$$( 2*a*b)/(2*a)=(2,4*x)/(2*x) rArr b=1,2$$
quadratische Ergänzung:
 $$b^2=1,2^2=1,44$$

Und nochmal einmal Brüche

Beispiel mit gemeinen Brüchen

Löse die Gleichung $$x^2+(2)/(3)x-(1)/(3)=0$$.

Lösungsschritte

  • Stelle die Gleichung um.

    $$x^2+(2)/(3)x-(1)/(3)=0$$   $$|+(1)/3$$

    $$x^2+(2)/(3)x=(1)/(3)$$

  • Addiere die quadratische Ergänzung.

    $$x^2+(2)/(3)x=(1)/(3)$$    $$|+(1)/(9)$$

    $$x^2+(2)/(3)x+(1)/(9)=(1)/(3)+(1)/(9)$$

  • Bilde das Binom.

    $$(x+(1)/(3))^2= (4)/(9)$$

  • Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).
  1. Fall:  $$x+(1)/(3)= sqrt((4)/(9))$$
  2. Fall:  $$x+(1)/(3)=-sqrt((4)/(9))$$

Lösung

  1. Lösung: $$x+1/3 = 2/3$$ $$ rArr x_1=(2)/(3)-(1)/(3)=(1)/(3)$$

  2. Lösung: $$x+1/3=-2/3$$ $$ rArr x_2=-(2)/(3)-(1)/(3)=-1$$


Lösungsmenge: $$L={(1)/(3);-1}$$

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