Potenzgesetze / Wurzelgesetze

Rechenregeln für Potenzen

Erinnerst du dich noch an die Potenzgesetze?

1. Potenzgesetz
$$a^m*a^n=a^(m+n)$$
$$a^m/a^n=a^(m-n)$$ mit $$a !=0$$

2. Potenzgesetz
$$a^n*b^n=(a*b)^n$$
$$a^n/b^n=(a/b)^n$$ mit $$b !=0$$

3. Potenzgesetz: Potenzen potenzieren
$$(a^n)^m=a^(n*m)$$


Bisher hast du für $$m$$ und $$n$$ ganze Zahlen eingesetzt.

Die Potenzgesetze gelten aber auch für Brüche im Exponenten! Mathematisch genau: wenn die Exponenten rationale Zahlen sind.
Die Gesetze gelten, wenn $$m, n in QQ$$.

Die Potenzgesetze gelten nicht nur für Exponenten aus den ganzen Zahlen $$ZZ$$, sondern für Exponenten aus den rationalen Zahlen $$QQ$$.





Ganze Zahlen $$ZZ$$ sind $$ZZ={…-3;-2;-1;0;1;2;3;…}$$

Die rationalen Zahlen $$QQ$$ sind positive und negative Brüche:
$$QQ={p/q | p, q in ZZ; q !=0}$$

Beispiele

1. Potenzgesetz

Vereinfache. Rechne so viel wie möglich ohne Taschenrechner.

$$2^(1/3)*2^(2/3)=2^(1/3+2/3)=2^1=2$$

$$144^(-3/2)*144^2=144^(-3/2+4/2)=144^(1/2)=sqrt144=12$$

$$(x^(11/4))/(x^(3/4))=x^(11/4-3/4)=x^(8/4)=x^2$$


2. Potenzgesetz

$$4^(1/2)*16^(1/2)=(4*16)^(1/2)=64^(1/2)=8$$

$$(32^(3/4))/(2^(3/4))=(32/2)^(3/4)=16^(3/4)=8$$


3. Potenzgesetz: Potenzen potenzieren

$$(3^(1/2))^4=3^(1/2*4)=3^2=9$$

$$(49^(1/6))^(-3)=49^(1/6*(-3))=49^(-3/6)=49^(-1/2)=1/(49^(1/2))=1/sqrt49=1/7$$


Und wie sieht’s mit Wurzeln aus? Kannst du die Gesetze auf $$n$$-te Wurzeln übertragen?

Für das 1. Potenzgesetz gibt es keine Entsprechung bei den Wurzeln, aber für die anderen zwei!

Zur Erinnerung:

  • 1. Potenzgesetz:
    $$a^m*a^n=a^(m+n)$$
    $$a^m/a^n=a^(m-n)$$ mit $$a !=0$$

  • 2. Potenzgesetz
    $$a^n*b^n=(a*b)^n$$
    $$a^n/b^n=(a/b)^n$$ mit $$b !=0$$

  • 3. Potenzgesetz: Potenzen potenzieren
    $$(a^n)^m=a^(n*m)$$

Die $$n$$-te Wurzel aus einem Produkt

Versuche, mithilfe der Potenzgesetze Wurzelterme umzuformen.

Beispiel:

$$sqrt(4)*sqrt(9) stackrel(?)=sqrt(4*9)$$

Los geht’s mit $$sqrt(4)*sqrt(9) $$

Umwandeln in Potenzen:
$$sqrt(4)*sqrt(9)=4^(1/2)*9^(1/2)$$

Anwenden des 1. Potenzgesetzes:

$$4^(1/2)*9^(1/2)=(4*9)^(1/2)$$

Umwandeln in eine Wurzel:

$$(4*9)^(1/2)=sqrt(4*9)$$

In Kurzform:
$$sqrt(4)*sqrt(9)=4^(1/2)*9^(1/2)=(4*9)^(1/2)=sqrt(4*9)$$
Das wolltest du zeigen.

Diese Rechnung kannst du für alle möglichen Zahlen, also auch allgemein für Radikanden $$a$$ und $$b$$ und Exponenten $$n$$ durchführen. (Die Radikanden dürfen natürlich nicht negativ sein.)

Willst du n-te Wurzeln multiplizieren, multipliziere die Radikanden. Die Wurzel bleibt gleich.
$$root n(a)*root n(b)=root n(a*b)$$ für jede natürliche Zahl $$n$$,
$$a,$$ $$b ge0$$


Zur Erinnerung:

  • 2. Potenzgesetz
    $$a^n*b^n=(a*b)^n$$
    $$a^n/b^n=(a/b)^n$$ mit $$b !=0$$

  • $$root n(x)=x^(1/n)$$








Zur Kontrolle:
$$sqrt(4)*sqrt(9)=2*3=6$$
$$sqrt(4*9)=sqrt(36)=6$$

Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.de kann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager

Und die Division?

Wie mit Produkten kannst du dir auch die Regel zur Wurzel aus Quotienten überlegen.

Beispiel 1:

$$root 4 (16)/root 4 (81)=16^(1/4)/81^(1/4)=(16/81)^(1/4)=root 4 (16/81)$$

Beispiel 2:
Andersum ist es manchmal praktisch zum Rechnen: $$root 4 (16/81)=root 4 (16)/root 4 (81)=2/3$$

Willst du n-te Wurzeln dividieren, dividiere die Radikanden. Die Wurzel bleibt gleich.
$$root n (a)/root n (b)=root n (a/b)$$ für jede natürliche Zahl $$n$$,
$$a ge0$$ und $$b >0$$

Zur Erinnerung:

  • 2. Potenzgesetz
    $$a^n*b^n=(a*b)^n$$
    $$a^n/b^n=(a/b)^n$$ mit $$b !=0$$

  • $$root n(x)=x^(1/n)$$

Die Wurzel in der Wurzel

Untersuche die letzte Rechenregel: Was passiert, wenn du die Wurzel aus einer Wurzel ziehst?

Beispiel:
$$root 2(root 5 (59049))=(59049^(1/5))^(1/2)=59049^(1/10) = root 10 (59049)$$

Also: $$root 2(root 5 (59049)) = root (2*5) (59049)$$

Und allgemein:

Willst du eine Wurzel aus einer Wurzel ziehen, multipliziere die Wurzelexponenten.
$$root m(root n (a))=root (m*n) (a)$$ für natürliche Zahlen $$n$$ und $$m$$
$$a>=0$$


Zur Erinnerung:

  • Potenzen potenzieren:
    $$(a^n)^m=a^(n*m)$$

  • $$root n(x)=x^(1/n)$$

Beispiele

$$root 4 (162)*root 4 (8)=root 4 (162*8)=root 4 (1296)=6$$

$$(root 6(5))/(root 3 (5))= (root (2*3)(5))/(root 3 (5))=(sqrt5*root3(5))/(root 3(5))=sqrt5$$

$$root 12(64)=root(3*4) (64)=root 4(root 3 (64))=root 4 (4)=root (2*2) (4)=sqrt(sqrt4)=sqrt2$$

Nicht durcheinanderkommen: $$sqrt( )$$ ist die 2. Wurzel, nicht etwa die 1. :-)


Die Wurzelgesetze

  • $$root n(a)*root n(b)=root n(a*b)$$
    $$n in NN,$$ $$a,$$ $$b ge0$$

  • $$root n (a)/root n (b)=root n (a/b)$$
    $$n in NN$$, $$a ge0$$ und $$b >0$$

  • $$root m(root n (a))=root (m*n) (a)$$
    $$m,n in NN,$$ $$a>=0$$
Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.de kann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager


Noch nicht kapiert?

Screenshot kapiert.de Mathe Aufgaben EdM

Das Thema macht dir noch Schwierigkeiten?
Teste das Lernportal von kapiert.de!

  • alle Themen aus deinem Schulbuch
  • interaktive Übungen und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Video-Chat mit Tutoren in allen Fächern

Die Testlizenz endet nach 14 Tagen automatisch. Es entstehen keine Kosten.

Ich habe die AGB und Datenschutzhinweise gelesen und stimme ihnen zu.