Koordinatensystem: Zuordnungen darstellen

Das Koordinatensystem

In einem Koordinatensystem kannst du Zuordnungen sehr übersichtlich darstellen.

Das Koordinatensystem besteht

  • aus einer $$x$$-Achse (Rechtsachse oder Abszissenachse) und
  • einer dazu senkrechten $$y$$-Achse (Hochachse oder Ordinatenachse).

Der gemeinsame Anfangspunkt heißt Nullpunkt oder Ursprung des Koordinatensystems.

Die Lage eines Punktes im Koordinatensystem beschreibst du durch seine Koordinaten. Um z.B. den Punkt P ( 3 | 2 ) einzutragen, gehst du vom Nullpunkt $$x = 3$$ Einheiten nach rechts und dann $$y = 2$$ Einheiten nach oben (Punkte in ein Koordinatensystem eintragen).

Zuordnungen im Koordinatensystem darstellen

Ein Punkt P($$x$$|$$y$$) ist durch ein Zahlenpaar in geordneter Reihenfolge bestimmt. Die erste Zahl ist die $$x$$-Koordinate und die zweite die $$y$$-Koordinate.
Du schreibst z.B. P (3|2).

Punkte im Koordinatensystem

Zuordnungen im Koordinatensystem darstellen

Die eingezeichneten Punkte haben folgende Koordinaten:
A (1|8) ; B (0|5) ; C (3|7) ; D (3|2)
E (5|7) ; F (4|0) ; G (8|1)

Fällt dir bei den Punkten etwas auf?
Die Punkte auf den Achsen haben jeweils im Zahlenpaar eine 0. Bei Punkten auf der $$x$$-Achse ist die $$y$$-Koordinate 0, z.B. F (4|0). Bei Punkten auf der $$y$$-Achse ist die $$x$$-Koordinate 0, z.B. B (0|5).

Punkte mit gleichen $$x$$-Koordinaten liegen auf einer Parallelen zur $$y$$-Achse, z.B. C (3|7) und D (3|2).
Punkte mit gleichen $$y$$-Koordinaten liegen auf einer Parallelen zur $$x$$-Achse, z.B. C (3|7) und E (5|7).

Unterschiedliche Achseneinteilungen

Manchmal gibt es Zuordnungen, die eine unterschiedliche Einteilung der Achsen erfordern.

Beispiel:

  • $$x$$-Werte von 0 bis 500
  • aber $$y$$-Werte nur von 0 bis 100

So sieht das Koordinatensystem aus: Zuordnungen im Koordinatensystem darstellen


Die eingezeichneten Punkte haben folgende Koordinaten:
A (100|20) ; B (0|60) ; C (100|100) ;
D (300|80) ; E (400|40) ; F (500|0)

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Von der Wertetabelle ins Koordinatensystem - Beispiel 1

Bei Sachaufgaben sind die einander zugeordneten Größen oft mit verschiedenen Einheiten und unterschiedlichen Größenbereichen dargestellt.

Beispiel:

Wertetabelle für eine Zuordnung: Menge in kg $$rarr$$ Preis in €

Menge
in kg
100 200 300 400 500
Preis
in €
40 80 120 160 200


So stellst du die Zuordnung in einem Koordinatensystem dar:

1. Beschriftung der Achsen

Die Ausgangsgröße kommt an die $$x$$-Achse: Menge in kg
Die zugeordnete Größe kommt an die $$y$$-Achse: Preis in €

2. Einteilung der Achsen

Bestimme den größten Wert für die $$x$$-Achse (hier: 500 kg) und den größten Wert für die $$y$$-Achse (hier: 200 €).

Überlege, wie viel kg und € einem Zentimeter (Längeneinheiten umrechnen) entsprechen sollen, damit das Koordinatensystem in dein Heft passt.

$$x$$-Achse: 1 cm $$stackrel(^)=$$ 100 kg
$$rarr$$ Die $$x$$-Achse wird insgesamt etwas über 5 cm lang.

$$y$$-Achse: 1 cm $$stackrel(^)=$$ 40 €
$$rarr$$ Die $$y$$-Achse wird ingesamt etwas über 6 cm lang.

3. Koordinatensystem zeichnen

Zuordnungen im Koordinatensystem darstellen


Du teilst die Achsen gleichmäßig ein.
Gilt z.B. 1 cm $$stackrel(^)=$$ 100 kg, dann kannst du nicht an derselben Achse einmal
1 cm $$stackrel(^)=$$ 100 kg und ein anderes Mal
1 cm $$stackrel(^)=$$ 50 kg haben.

Fortsetzung Beispiel 1

Wertetabelle für eine Zuordnung: Menge in kg $$rarr$$ Preis in €

Menge
in kg
100 200 300 400 500
Preis
in €
40 80 120 160 200


4. Punkte einzeichnen

Zuordnungen im Koordinatensystem darstellen

5. Entscheidung: Punkte verbinden?

Entscheide, ob es für die zugeordneten Größen geeignete Zwischenwerte gibt. Hier gibt es bei der Menge alle möglichen Zwischenwerte wie 102,5 kg oder 85,50 €. Deshalb kannst du die eingezeichneten Punkte verbinden. Zuordnungen im Koordinatensystem darstellen

Bei einer Menge in Stückzahlen (z.B. Glühlampen) ist das anders: Es gibt ja keine halben oder 0,5 Glühlampen.
Trotzdem werden die Punkte manchmal verbunden. Entscheide, ob in der graphischen Darstellung eine Unterscheidung von einander zugeordneten Größen erkennbar ist oder nicht. Ist sie erkennbar, dann werden die Punkte nicht verbunden, ist sie nicht erkennbar, werden die Punkte verbunden.

Von der Wertetabelle ins Koordinatensystem - Beispiel 2

Beispiel:

Nach einem Fußballspiel verlassen die 10 000 Zuschauer durch vier Ausgänge das Stadion. Jeder der Ausgänge wird pro Minute von 250 Zuschauern passiert.

Wertetabelle für die Zuordnung
Zeit t in Minuten $$rarr$$ Anzahl n der Zuschauer im Stadion :

t 0 1 2 5 9 10
Anzahl 10000 9000 800050001000 0


Darstellung der Zuordnung in einem Koordinatensystem:

1. Beschriftung der Achsen

Die Ausgangsgröße kommt an die $$x$$-Achse: Zeit t in min
Die zugeordnete Größe kommt an die $$y$$-Achse: Anzahl n

2. Einteilung der Achsen

Bestimme den größten Wert für die $$x$$-Achse (hier: 10 min) und den größten Wert für die $$y$$-Achse (hier: Anzahl 10000 ).

Überlege, wie viel min und welche Anzahl einem cm entsprechen sollen, damit das Koordinatensystem in dein Heft passt.

$$x$$-Achse: 1 cm $$stackrel(^)=$$ 1 min
$$rarr$$ Die $$x$$-Achse wird insgesamt etwas über 10 cm lang.

$$y$$-Achse: 1 cm $$stackrel(^)=$$ 1000
$$rarr$$ Die $$y$$-Achse wird ingesamt etwas über 10 cm lang.

3. Koordinatensystem zeichnen

Zuordnungen im Koordinatensystem darstellen

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Fortsetzung Beispiel 2

Wertetabelle für die Zuordnung
Zeit t in Minuten $$rarr$$ Anzahl n der Zuschauer im Stadion:

t 0 1 2 5 9 10
Anzahl 10000 9000 800050001000 0


4. Punkte einzeichnen

Zuordnungen im Koordinatensystem darstellen

5. Entscheidung: Punkte verbinden?

Entscheide, ob es für die zugeordneten Größen geeignete Zwischenwerte gibt. Für die Zeiten gibt es Zwischenwerte (0,5 min), aber für die Menschen nicht. Aber bei dem großen Maßstab (1 cm $$stackrel(^)=$$ 1000 Menschen) ist die Unterscheidung von einem Menschen gar nicht erkennbar. Also kannst du die Punkte verbinden.

Zuordnungen im Koordinatensystem darstellen

Zuordnung mit Termen

Es gibt Zuordnungen, die nur mit Variablen (meist $$x$$ und $$y$$) dargestellt werden, man bezeichnet sie auch als Terme.

Beispiel:

Ordne einer beliebigen natürlichen Zahl $$x$$ $$\ge$$ $$0$$ die Zahl $$2*x$$ zu.
Erstelle eine Wertetabelle für $$x = 0, 1, 2, 3, 4$$ und stelle die Werte in einem Koordinatensystem dar.

 $$x$$ 0 1 2 3 4
$$y = 2*x$$ 0 2 4 6 8


Zuordnungen im Koordinatensystem darstellen













Da $$x$$ zur der Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0 gehört, können die Punkte nicht miteinander verbunden werden.

Natürliche Zahlen einschließlich 0: $$NN={ 0, 1, 2, 3…}$$

Koordinatensysteme selber füllen

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