Anwendungsaufgaben mit dem Pythagoras

Einleitung

Viele Anwendungen kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen.

Zeichne zuerst immer eine Skizze. Markiere den rechten Winkel und alle gegebenen Längen.
So siehst du auf den ersten Blick, welche Länge gesucht ist: eine Kathete oder die Hypotenuse.

Zur Erinnerung:

Anwendungsaufgaben mit dem Pythagoras


Der Satz des Pythagoras lautet

$$c^2 = a^2 + b^2$$,

wenn $$c$$ die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ist. $$a$$ und $$b$$ sind Katheten. Du rechnest mit dem Satz immer erst eine Fläche aus. Zu einer Länge gelangst du durch Wurzelziehen, z.B. $$c= sqrt (a^2 + b^2)$$.

Der Satz des Pythagoras lässt sich umstellen zu der Form

$$a^2 = c^2 - b^2$$

oder

$$b^2 = c^2 - a^2$$.

In jedem Fall wird von dem Hypotenusenquadrat das Kathetenquadrat abgezogen.












Anwendungsaufgaben mit dem Pythagoras

Die Leiter

Wie hoch reicht eine 4 m lange Leiter hinauf, wenn du sie 1,5 m entfernt von der Hauswand aufstellst?

Anwendungsaufgaben mit dem Pythagoras

In dieser Aufgabe liegt ein rechtwinkliges Dreieck. Also kannst du den Satz von Pythagoras anwenden, um die fehlende Seite im Dreieck zu berechnen.

Skizze:

Anwendungsaufgaben mit dem Pythagoras

Du siehst, dass die Hypotenuse mit 4 m und eine Kathete mit 1,5 m gegeben sind.

Lösung:

$$a^2=c^2-b^2$$

$$a^2=4^2-1,5^2$$

$$a^2=16-2,25$$

$$a^2=13,75$$ $$|sqrt( )$$

$$a approx 3,7$$ $$m$$

Am Ende einer Anwendungsaufgabe kommt ein Antwortsatz.

Die Leiter reicht ca. 3,7 m an der Hauswand hinauf.


































Bei dem Wurzelziehen kommt in den meisten Fällen eine nicht abbrechende Dezimalzahl heraus. Du rundest das Ergebnis. In dem Beispiel wurde auf eine Nachkommastelle gerundet.

Das Spielfeld

Mathias läuft beim Training 10 x diagonal über das Feld mit den Maßen 100 m mal 50 m. Legt Mathias eine längere Strecke als 1 km zurück?

Skizze:

Anwendungsaufgaben mit dem Pythagoras

Du siehst, dass die Hypotenuse fehlt.

Lösung:

$$c^2=a^2+b^2$$

$$c^2=100^2+50^2$$

$$c^2=10000+2500$$

$$c^2=12500$$

$$c approx 111,8$$ $$m$$

Mathias läuft die Strecke 10 Mal.

$$111,8*10=1118$$ $$m$$

$$1$$ $$km$$ $$=1000$$ $$m$$

Antwortsatz: Mathias legt mehr als 1 km zurück.

Anwendungsaufgaben mit dem Pythagoras
Bild: iStockphoto.com (Jenny Hill)

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Beispiel Trainingslauf

Der Trainer stellt frei, ob die Fußballer lieber 10 x diagonal über das Feld (50 m x 100 m) laufen wollen oder 4 x das Feld umrunden wollen. Um wie viel % ist der Diagonalenlauf (10 x) kürzer als die Feldumrundung (4 x)?

Lösung:

Diagonalenlauf:
$$111,8*10=1118$$ $$m$$

Umfang des Felds:
$$U_(Feld)=50+100+50+100=300$$ $$m$$

$$4$$ x Feldumrundung:
$$300*4=1200$$ $$m$$

$$rarr$$ Berechne den Prozentsatz: $$1118$$ $$m$$ von $$1200$$ $$m$$.

Prozentwert $$PW$$: $$1118$$ $$m$$

Grundwert $$GW$$: $$1200$$ $$m$$

Prozentsatz $$p$$: ?

$$p=(PW)/(GW) * 100 = 1118/1200 *100 approx 93,2 %$$

Der Weg entlang der Diagonalen ist $$6,8%$$ kürzer.



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