Zufallsexperimente mit Vierfeldertafeln untersuchen

Vierfeldertafel: Passanten mit Handy-Vertrag bei 2+2

Die Mobilfunk-Anbieter wollen sich ja gegenseitig die Kunden abjagen. Die Firma 2+2 führt auch schon mal Umfragen durch:

In einer Fußgängerzone wurden 800 Passanten gefragt, 350 davon Männer. 144 Männer hatten einen Handy-Vertrag bei 2+2, bei den Frauen waren es 119.

Und mathematisch: In der statistischen Umfrage wurden zwei Merkmale untersucht:
Merkmal 1 mit den Ausprägungen
$$A$$ Vertrag (bei 2+2) und $$barA$$ kein Vertrag (bei 2+2) und
Merkmal 2 mit den Ausprägungen
$$B$$ Männer und $$barB$$ Frauen.

Die Daten schreibst du übersichtlich in eine Vierfeldertafel.

$$B$$ Männer $$barB$$ Frauen Summe
$$A$$ Vertrag
144
119
263
$$barA$$ kein Vertrag
206
331
537
Summe
350
450
800


Aber eigentlich interessieren 2+2 ja nicht die exakten Zahlen dieser einen Umfrage, sondern, wie groß die Wahrscheinlichkeiten sind, dass Männer bzw. Frauen einen Handy-Vertrag bei 2+2 abgeschlossen haben.

Zufallsexperimente mit Vierfeldertafeln untersuchen
Bild: Shutterstock.com




Die inneren (hier roten) 4 Felder enthalten die Anzahlen der Merkmalsträger. Ihre Summe ergibt die Grundgesamtheit oder kurz Gesamtzahl.
In den Randfeldern stehen die jeweiligen Zeilen- bzw. Spaltensummen.

Zufallsexperiment und Vierfeldertafel

Wahrscheinlichkeiten… Klingt nach Zufallsexperiment??
Richtig!

Du betrachtest die Befragung als Zufallsexperiment. Zufallsexperiment bedeutet hier: Du kannst bei der Umfrage nicht vorhersagen, ob ein zufällig ausgewählter Passant einen Vertrag bei 2+2 hat oder nicht.

Mithilfe der Vierfeldertafel berechnest du die relativen Häufigkeiten für die Umfrage. Bei einer repräsentativen Umfrage kannst du die errechneten relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten für das Zufallsexperiment benutzen.

Zufallsexperimente sind Vorgänge, deren Ergebnis nicht vorhersagbar ist. Die „Klassiker“ sind das Werfen eines Würfels oder einer Münze.

$$B$$ Männer $$barB$$ Frauen
  Summe

$$A$$ Vertrag
144 : 800
= 0,18
= 18%
119 : 800
$$approx$$ 0,15
= 15%
263 : 800
$$approx$$ 0,33
= 33%
$$barA$$ kein Vertrag
206 : 800
$$approx$$ 0,26
= 26%
331 : 800
$$approx$$ 0,41
= 41%
537 : 800
$$approx$$ 0,67
= 67%
Summe
350 : 800
$$approx$$ 0,44
= 44%
450 : 800
$$approx$$ 0,56
= 56%
800 : 800
= 1
= 100%

So kannst du folgende Wahrscheinlichkeiten für mögliche weitere Umfragen ablesen:

  • 144 von 800 Passanten sind Männer, die einen Vertrag bei 2+2 haben, dies entspricht einem Anteil von etwa 0,18 = 18%.
  • 263 von 800 Passanten haben einen Vertrag bei 2+2, dies entspricht einem Anteil von 0,33 = 33%.
  • 33% der Befragten haben einen Vertrag bei 2+2. 15% haben einen Vertrag und sind weiblich. Von den Befragten mit Vertrag sind also
    15% : 33% $$approx$$ 45% weiblich.

Die Vierfeldertafel enthält Daten über 2 Merkmale mit jeweils 2 Ausprägungen. Aus den Daten kannst du Anteile berechnen, die Wahrscheinlichkeiten für Prognosen hinsichtlich einer zufälligen Auswahl eines Merkmalsträgers aus der Grundgesamtheit ergeben.

Und mit Baumdiagramm!

Bei dem Zufallsexperiment Umfrage ist ja egal, ob im Fragebogen

  • erst Mann/Frau notiert wird und dann Vertrag/kein Vertrag oder
  • erst Vertrag/kein Vertrag und dann Mann/Frau.

Diese 2 Möglichkeiten kannst du in zweistufigen Baumdiagrammen darstellen.

Die Zweige sind dann Pfade der Länge 2. Jeder Pfad stellt ein Ergebnis des Zufallsexperiments dar und enthält an seinem Ende die Daten aus der Vierfeldertafel.

 $$B$$  Männer  $$barB$$  Frauen
  Summe

$$A$$ Vertrag
0,18 = 18%
0,15 = 15%
0,33 = 33%
$$barA$$ kein Vertrag
0,26 = 26%
0,41 = 41%
0,67 = 67%
Summe
0,44 = 44%
0,56 = 56%
1 = 100%

Zufallsexperimente mit Vierfeldertafeln untersuchen

Jede Vierfeldertafel kannst du als Ablaufbeschreibung zweier zweistufiger Zufallsexperimente auffassen.

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So sieht’s allgemein aus

Statistische Daten über zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen $$A , barA$$ bzw. $$B, barB$$ können in Vierfeldertafeln notiert werden. Die aus diesen Daten abgeleiteten Anteile ergeben Wahrscheinlichkeiten für Prognosen hinsichtlich einer zufälligen Auswahl von Merkmalsträgern aus einer Gesamtheit.

$$B$$ $$barB$$ Summe
$$A$$
r
s
p
$$barA$$
t
u
q
Summe
x
y
1 = 100%

Diese Auswahl führt auf zwei zweistufige Zufallsexperimente, die auch in Baumdiagrammen dargestellt werden können. Dabei können die Stufen des jeweiligen Baumdiagramms mit den Ausprägungen unterschiedlich belegt werden.

Zufallsexperimente mit Vierfeldertafeln untersuchen

Die relativen Häufigkeiten der inneren Zellen der Vierfeldertafel ergeben die jeweiligen Pfadergebnisse des zweistufigen Zufallsexperiments.

Die relativen Häufigkeiten der Randsummen ergeben die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für die ausgewählte 1. Stufe des Baumdiagramms.

Die Wahrscheinlichkeiten auf der jeweiligen 2. Stufe des Baumdiagramms kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel durch Quotientenbildung berechnen.

Fußball!

Die Klasse 10 der Goethe-Gesamtschule hat 200 Schüler, davon 90 Mädchen. Sehr beliebt ist die Fußball-AG. Die Zahlen der Mitgliedschaft siehst du in der Vierfeldertafel.

$$A:$$ Jungen, $$barA:$$ Mädchen,
$$B:$$ Mitglied in Fußball-AG, $$barB:$$ kein Mitglied in Fußball-AG

$$B$$ Fußball$$barB$$
nicht Fußball
Summe
$$A$$ Jungen
70
40
110
$$barA$$ Mädchen
10
80
90
Summe
80
120
200

Mit Wahrscheinlichkeiten:

$$B$$ Fußball$$barB$$
nicht Fußball
Summe
$$A$$ Jungen
0,35
0,2
0,55
$$barA$$ Mädchen
0,05
0,4
0,45
Summe
0,4
0,6
1

Die zweite Vierfeldertafel wird nun als Basis zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten gewählt:
Die Wahrscheinlichkeit $$p$$ dafür, dass ein/e zufällig ausgewählte/r Schüler/in

  • ein Mädchen ist und kein Mitglied der Fußball-AG ist, beträgt 0,40 oder 40%.
    Mathematisch: $$p(barA cap barB)=0,4$$
  • ein Junge ist, beträgt 0,55 oder 55%.
    Mathematisch: $$p(A)=0,55$$.

Im Baumdiagramm

So kannst du das Baumdiagramm zeichnen:

Das Geschlecht ist Stufe 1. Die Wahrscheinlichkeiten für Stufe 1 und die Pfadenden stehen in der Vierfeldertafel. Die Wahrscheinlichkeiten für die 2. Stufe bestimmst du mit der Pfadmultiplikationsregel.

  • Kombination Mädchen und Fußball: $$0,45 * x = 0,05$$, also $$x approx 0,11$$.
  • Kombination Mädchen und kein Fußball: $$0,45*x=0,4$$, also $$x approx0,89$$.
  • Kombination Junge und Fußball: $$0,55*x=0,35$$, also $$x approx0,64$$.
  • Kombination Junge und kein Fußball: $$0,55*x=0,2$$, also $$x approx0,36$$.


So sieht dann das Baumdiagramm aus:

Zufallsexperimente mit Vierfeldertafeln untersuchen



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