Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

Zusammengesetzte Körper: Volumen

Viele Gegenstände sind aus geometrischen Körpern zusammengesetzt.

Beispiel: Diese Verpackung besteht aus einem Quader und einem Dreiecksprisma.

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

Teile zusammengesetzte Körper in einzelne Körper auf, von denen du das Volumen schon berechnen kannst. Anschließend rechnest du die Volumina zusammen.

Jetzt wird gerechnet

Die Verpackung hat folgende Maße.

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

Weg 1

1. Quader:

$$V_1 = a * b *c$$

$$V_1 = 5cm * 3cm * 4cm$$

$$V_1 = 60cm^3$$

2. Dreiecksprisma:

$$V_2 = G * h_k$$

$$V_2 = 1/2 g * h * h_k$$

$$V_2 = 1/2 * 5cm * 5cm * 3cm$$

$$V2 = 37,5cm^3$$

3. Gesamter Körper:

$$V = V_1 + V_2$$

$$V = 60cm^3 + 37,5cm^3$$

$$V = 97,5cm^3$$

Dreieck $$G = 1/2 g * h$$

Prisma $$V=G*h_k$$

Quader $$V = a * b *c$$

So geht’s auch

Weg 2

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

Du kannst die Verpackung auch als großes Prisma sehen. Die Vorderseite wird zur Grundfläche. Dann brauchst du bloß Grundfläche $$*\ h_k$$ rechnen.

Grundfläche $$=$$ Rechteck $$+$$ Dreieck

$$G = a*b + 1/2 * g *h$$

$$G = 5 cm * 4 cm + 1/2 *5 cm * 5 cm$$

$$G = 32,5 cm^2$$


$$V = G * h_k$$

$$V = 32,5 cm² * 3 cm$$

$$V = 97,5 cm^3$$

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Volumen zusammengesetzter Körper

Meist gibt es mehrere Möglichkeiten, wie du das Volumen zusammengesetzter Körper berechnen kannst.

Beispiel

Gegeben ist ein zusammengesetzter Körper aus Quadern mit folgenden Seitenlängen in $$cm$$:

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

1. Volumina addieren

a)

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

Quader 1:

$$V_1 = a * b *c$$

$$V_1 = 50\ cm * 30\ cm * 20\ cm$$

$$V_1 = 30000\ cm^3$$

Quader 2:

$$V_2 = 30\ cm * 60\ cm * 20\ cm$$

$$V_2 = 36000\ cm^3$$

Gesamter Körper:

$$V = V_1 + V_2$$

$$V = 30000\ cm^3 + 36000\ cm^3$$

$$V = 66000\ cm^3$$

b)

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

Quader 1:

$$V_1 = 80\ cm * 30\ cm * 20\ cm$$

$$V_1 = 48000\ cm^3$$

Quader 2:

$$V_2 = 30\ cm * 30\ cm * 20\ cm$$

$$V_2 = 18000\ cm^3$$w

Gesamter Körper:

$$V = V_1 + V_2$$

$$V = 48000\ cm^3 + 18000\ cm^3$$

$$V = 66000\ cm^3$$

Volumen zusammengesetzter Körper

2. Großer Quader und Lücke abziehen

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

Quader 1:

$$V_1 = 80\ cm * 60\ cm * 20\ cm$$

$$V_1 = 96000\ cm^3$$

Quader 2:

$$V_2 = 50\ cm * 30\ cm * 20\ cm$$

$$V_2 = 30000\ cm^3$$

Gesamter Körper:

$$V = V_1 - V_2$$

$$V = 48000\ cm^3 - 18000cm^3$$

$$V = 66000\ cm^3$$

Noch ein Beispiel

Dieser Körper enthält einen Zylinder.

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

1. Zylinder:

$$V_1 = G * h_k$$

$$V_1 = π * r^2 * h_K$$

$$V_1= π * (2\ cm)^2 * 8\ cm$$

$$V_1= π * 4\ cm^2 * 8\ cm$$

$$V_1= 12,57\ cm^2 * 8\ cm$$

$$V_1 = 100,53\ cm^3$$

2. Quader:

$$V_2 = a * b *c$$

$$V_2 = 6\ cm * 6cm * 2cm$$

$$V_2 = 72\ cm^3$$

  1. Gesamter Körper:

$$V = V_1 + V_2$$

$$V = 100,53\ cm^3 + 72\ cm^3$$

$$V = 172,53\ cm^3$$

Flächeninhalt eines Kreises:

$$A = π * r^2$$

$$π$$ Kreiszahl
$$r$$ Radius

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

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Jetzt kommt die Oberfläche

Die Oberfläche zu berechnen ist etwas schwieriger.

Der Oberflächeninhalt eines zusammengesetzten Körpers sind alle Flächen, die du berühren kannst. Deshalb kannst du nicht einfach die Oberflächeninhalte der einzelnen Körper zusammenrechnen. Manche Flächen liegen aneinander. Die darfst du dann nicht mit in den Oberflächeninhalt einrechnen.

Berechne den Oberflächeninhalt.

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

Wenn du die Packung hinlegst, siehst du besser, dass es ein Prisma ist. Berechne 2 mal die Grundlfäche und die Mantelfläche am Stück. Für die Mantelfläche brauchst du den Umfang.

Je nach dem um welches Prisma es sich handelt, rechnest du mit anderen Formeln die Grundfläche $$G$$, den Umfang $$u$$ und die Mantelfläche $$M$$.

Oberfläche zusammengesetzter Körper

Nun kannst du wie gewohnt vorgehen:

1. Grundfläche berechnen (Rechteck + Dreieck):

$$G = a * b + 1/2 g * h$$

$$G = 5\ cm * 4\ cm + 1/2 5\ cm * 5\ cm$$

$$G = 20\ cm^2 + 12,5\ cm^2$$

$$G = 32,5\ cm^2$$

2. Mantelfläche berechnen:

$$M = u * h_k$$

$$M = (5\ cm +4\ cm + 5,59\ cm + 5,59\ cm + 4\ cm) * 3\ cm$$

$$M = 24,18\ cm * 3\ cm$$

$$M = 72,54\ cm^2$$

3. Oberfläche berechnen:

$$O = 2 * G + M$$

$$O = 2 * 32,5\ cm^2 + 72,54\ cm^2$$

$$O = 137,54\ cm^2$$



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