Funktionen mit Tabellen und Graphen beschreiben

Abhängigkeit einer Größe von einer anderen Größe

Eine Funktion drückt immer den Zusammenhang zwischen 2 Größen aus. Mache dir klar: Welche Größe hängt von welcher anderen Größe ab?

Beispiel:

Auf dem Schulfest sollen an einem Stand Waffeln gebacken werden. Die Anzahl der Waffeln, die pro Stunde gebacken werden können, ist abhängig von der Anzahl der zur Verfügung stehenden Waffeleisen.

Bei einem Waffeleisen können insgesamt 12 Waffeln pro Stunde gebacken werden.
Bei 3 Waffeleisen können insgesamt 36 Waffeln pro Stunde gebacken werden. Bei 4 Waffeleisen können insgesamt 48 Waffeln pro Stunde gebacken werden. Bei 6 Waffeleisen können insgesamt 72 Waffeln pro Stunde gebacken werden.

Das alles aufzuschreiben, ist ja zu umständlich. Deshalb gibt es Wertepaare: (1|12), (3|36), (4|48), (6|72)

Abhängigkeiten in einer Wertetabelle darstellen

Noch übersichtlicher als Wertepaare ist eine Wertetabelle.

Beispiel:

Betrachten wir nochmal das Beispiel mit den Waffeleisen.

Wertepaare:

$$(1|12)$$, $$(3|36)$$, $$(4|48)$$, $$(6|72)$$

Wertetabelle:

Waffeleisen (Anzahl) 1 3 4 6
Waffeln pro Stunde (Anzahl) 12 36 48 72


Die Ausgangsmenge: 1, 3, 4, 6
Die Zielmenge: 12, 36, 48, 72

Um deutlich zu machen, dass eine Funktion zwischen diesen Mengen besteht, schreibt man kurz:

Waffeleisen (Anzahl) $$→$$ Waffeln pro Stunde (Anzahl)

Abhängigkeiten in einem Graphen darstellen

Noch übersichtlicher als eine Tabelle ist ein Graph.
Für den Graphen trägst du die Wertepaare in ein Koordinatensystem ein.

1. Beschriftung der Achsen:

Die Zahlen aus der Ausgangsmenge kommen auf die waagerechte x-Achse. Die Zahlen aus der Zielmenge kommen auf die senkrechte y-Achse.

2. Einteilung der Achsen:

Bestimme den größten Wert für die x-Achse (hier: 6) und den größten Wert für die y-Achse (hier: 72).

Überlege, wie viel einem Zentimeter entsprechen sollen, damit das Koordinatensystem in dein Heft passt.

x-Achse: 1 cm ≙ 1 → Die x-Achse wird insgesamt etwas über 6 cm lang.
y-Achse: 1 cm ≙ 10 → Die y-Achse wird insgesamt etwas über 7 cm lang.

3. Koordinatensystem und Graph zeichnen

Funktionen mit Tabellen und Graphen beschreiben

Diese Punkte kannst du nicht mit einer Linie verbinden, denn es gibt ja nicht 1,5 Waffeleisen.

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Noch ein Beispiel: Auf Fahrradtour

Sophia und Helmut machen eine Fahrradtour.

Sie schreiben nach den Stunden auf, wie weit sie von ihrem Startpunkt entfernt sind.

Zeit in Stunden 0 2 4 5 7
Entfernung vom Start in km 0 25 35 35 0


So kannst du das formulieren:

  • Der zurückgelegte Weg hängt von der Zeit ab.

  • Der Weg ist eine Funktion der Zeit.

  • Zwischen den Größen Weg und Zeit besteht ein funktionaler Zusammenhang.

Funktionen mit Tabellen und Graphen beschreiben

Du kannst anhand des Graphen viele Informationen zu der Fahrradtour erhalten:

  • Wie lange hat die Fahrradtour gedauert? 7 Stunden

  • Kommen Sophia und Helmut wieder an ihrem Ausgangspunkt an? Ja, nach 7 Stunden ist die Entfernung bei y wieder 0.

  • Wie viel Kilometer sind sie insgesamt gefahren? 35 km hin und 35 km zurück macht 70 km.

  • Haben sie eine Pause gemacht? Wenn ja, wann und wie lange? In einer Pause bleiben Sophia und Helmut ja an einem Ort. Sie legen keinen Weg zurück. Das siehst du an dem waagerechten Abschnitt zwischen Stunde 4 und 5. Die zwei haben eine Stunde Pause gemacht.



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