Rechengesetze Addition

Vorteilhaft mit Brüchen rechnen

Im Folgenden wirst du ein paar Rechengesetze kennenlernen, die dir helfen, geschickt Brüche zu addieren.

Erinnere dich zunächst daran, wie du Brüche richtig addierst:

Addition von Brüchen

Du addierst zwei Brüche

$$3/5+2/4$$

indem du

  1. einen Hauptnenner bestimmst. Multiplizieren dazu z.B. die beiden Nenner:
    $$5*4=20$$
  2. Die beiden Zähler an den Hauptnenner anpasst:
    $$(3*4)/(5*4)+(2*5)/(4*5)=(12)/(20)+(10)/(20)$$
  3. Die Zähler addierst und den Hauptnenner beibehältst:
    $$(12+10)/20=22/20$$
  4. Wenn möglich, noch zuletzt kürzst:
    $$22/20=11/10$$

Das Kommutativgesetz

Schon bei den natürlichen Zahlen hast du gelernt, dass die Reihenfolge der Zahlen bei der Addition keine Rolle spielt:
$$3+8=8+3=11$$

kommutativ (lat.) = vertauschbar

Dies gilt natürlich auch für die Addition von Brüchen:

$$3/8+4/5=4/5+3/8$$

$$(15+32)/40=(32+15)/40$$

$$47/40=47/40$$

Kommutativgesetz der Addition:

In einer Summe darf man die Reihenfolge der Summanden vertauschen. Es gilt:

$$a/b+c/d=c/d+a/b$$

Vorteile durch das Kommutativgesetz

Vorteilhaft ist die Vertauschung besonders dann, wenn du mehr als zwei Summanden addieren möchtest. Du kannst so z.B. passende Nenner zusammen zu bringen:

$$2/9$$$$+2/3+$$$$4/9$$$$=2/9+4/9+2/3$$

$$=(2+4)/9+2/3$$

$$=6/9+2/3$$

$$=2/3+2/3$$

$$=4/3$$

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Das Assoziativgesetz

Wenn du mehrere Summanden addierst, kann auch eine Änderung der Reihenfolge, in der du die Summanden addierst, hilfreich sein. Dies erlaubt dir das Assoziativgesetz, das auch Verbindungsgesetz genannt wird.

assoziativ (lat.) = verbindend

Assoziativgesetz der Addition:

In einer Summe aus drei oder mehr Summanden darf man beliebig Klammern setzen. Der Wert der Summe ist unabhängig von der Stellung der Klammern, so dass du die Klammern auch weglassen kannst.

$$(a/b+c/d)+e/f=a/b+(c/d+e/f)=a/b+c/d+e/f$$.

Ein Beispiel, bei dem du durch geschickte Klammerung einfacher rechnen kannst:

$$3/5+2/3+4/3=3/5+(2/3+4/3)$$

$$=3/5+6/3$$

$$=3/5+2$$

$$=(3+10)/5=13/5$$

Kombination von Kommutativ- und Assoziativgesetz

Wenn du beide erlernten Gesetze miteinander kombinierst, hast beim Addieren von Brüchen beliebig sortieren. So kannst du die ein oder andere Hauptnennersuche einsparen.

Das Beispiel veranschaulicht diese Überlegung:

$$3/4+4/5+3/10+6/4+2/5=3/4+6/4+4/5+2/5+3/10$$

$$=(3/4+6/4)+(4/5+2/5)+3/10$$

$$=9/4+6/5+3/10$$

$$=9/4+(12+3)/10$$

$$=9/4+15/10$$

$$=9/4+3/2$$

$$=9/4+6/4=14/4$$

Gleich noch ein Beispiel

Das Sortieren hilft auch, wenn Du zwar nicht dieselben Nenner findest, aber einfacher einen gemeinsamen Hauptnenner bestimmen kannst. Sind zwei Nenner z.B. Vielfache voneinander, können sie leichter addiert werden.

$$6/15+5/8+3/5+13/16=(6/15+3/5)+(5/8+13/16)$$

$$=(6+9)/15+(10+13)/16$$

$$=15/15+23/16$$

$$=1+1 7/16=2 7/16$$

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