Besondere Geraden

Gehört zu jeder Geraden eine lineare Funktion?

Du weißt schon, dass zu jeder linearen Funktion eine Gerade als Graph gehört.

Aber gilt das auch umgekehrt, kannst du auch zu jeder Geraden eine Funktionsgleichung finden?

Besondere Geraden

In der Gleichung $$f(x) = mx + b$$ gibt $$m$$ die Steigung und $$b$$ den Abschnitt auf der $$y$$-Achse an.
Die Steigung m gibt an, ob die Gerade nach rechts ansteigt (wenn $$m>0$$ ist) oder abfällt (wenn $$m<0$$ ist)

Wenn die Gerade parallel zu einer der Achsen verläuft, kannst du gar kein Steigungsdreieck einzeichnen, du kannst auch keine gleich bleibende Änderungsrate erkennen – kann es sich trotzdem um eine Funktion handeln?

In der Gleichung $$f(x) = mx + b$$ gibt $$m$$ die Steigung und $$b$$ den Abschnitt auf der $$y$$-Achse an.

Eine lineare Funktion hat eine Gerade als Graph.

Die Gerade ist parallel zur $$x$$-Achse – Gleichung $$y=c$$

Besondere Geraden

Hier handelt es sich um Funktionen, denn

  1. Alle $$x$$-Werte haben einen $$y$$-Wert, wenn auch immer denselben.
  2. Die Zuordnung ist eindeutig, denn kein $$x$$-Wert hat zwei verschieden $$y$$-Werte.

Die $$x$$-Achse besteht aus allen Punkten mit der $$y$$-Koordinate $$0$$, du kann sie also beschreiben mit der Gleichung $$y=0$$. Diese Gleichung beschreibt alle Punkte mit der $$y$$-Koordinate $$0$$ und einem beliebigen $$x$$-Wert, also alle Punkte, die auf der $$x$$-Achse liegen.

Entsprechend kannst du jede Parallele zur x-Achse beschreiben – für die vier Geraden im Bild also $$y=–1$$; $$y=0$$; $$y=1,5$$ und $$y=4$$.

Es gibt einen Achsenabschnitt $$b$$, wie bei allen linearen Funktionen kannst du ihn auf der $$y$$-Achse ablesen, und die Steigung ist weder positiv, noch negativ, sondern es gilt $$m=0$$.

Die Gleichung $$y=b$$ beschreibt eine Parallele zur $$x$$-Achse, es handelt sich um eine lineare Funktion mit der Steigung $$m=0$$ und dem Achsenabschnittspunkt $$A_y (0|b)$$.
















Bei einer Funktion wird jedem $$x$$-Wert eindeutig ein $$y$$-Wert zugeordnet.



Die $$x$$-Achse besteht aus allen Punkten mit der $$y$$-Koordinate $$0$$.

Die Gerade ist parallel zur $$y$$-Achse – Gleichung $$x=c$$

Besondere Geraden

Hier handelt es sich nicht um Funktionen, denn

  1. nicht alle $$x$$-Werte haben einen $$y$$-Wert
  2. die Zuordnung ist nicht eindeutig.

Die $$y$$-Achse besteht aus allen Punkten mit der $$x$$-Koordinate $$0$$, du kann sie also beschreiben mit der Gleichung $$x=0$$. Diese Gleichung beschreibt alle Punkte mit der $$x$$-Koordinate $$0$$ und einem beliebigen $$y$$-Wert, also alle Punkte, die auf der $$y$$-Achse liegen.

Entsprechend kannst du jede Parallele zur $$y$$-Achse beschreiben, für die vier Geraden im Bild also $$x=–1$$; $$x=0$$; $$x=1,5$$ und $$x=4$$.

Du weißt aber schon: Diese Gleichungen sind keine Funktionsgleichungen. Es gibt weder einen Achsenabschnitt $$b$$, noch eine Steigung $$m$$.

Die Gleichung $$x=c$$ beschreibt eine Parallele zur $$y$$-Achse, die durch den Punkt $$(c|0)$$ verläuft. $$x=c$$ ist keine Funktionsgleichung, weil die Geraden keine Funktionen sind.
















Bei einer Funktion wird jedem $$x$$-Wert eindeutig ein $$y$$-Wert zugeordnet.


Die $$x$$-Achse besteht aus allen Punkten mit der $$y$$-Koordinate $$0$$.

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