Gleichungssysteme mithilfe des Einsetzungsverfahrens lösen

Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren eignet sich besonders gut, wenn eine Variable mit dem Koeffizienten 1 in einer der beiden Gleichungen steht. Denke daran, dass man den Koeffizienten 1 nicht mitschreibt: 1 $$*$$ y = y.

Beispiel:

x - 2 = 2y

5x - 2y = 8

Hier steht x mit dem Koeffizienten 1 in der 1. Gleichung.

So löst du das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:

1. Stelle eine der beiden Gleichungen nach einer günstigen Variablen um.

Hier ist es günstig die 1. Gleichung nach x umstellen, da x den Koeffizienten 1 hat.

x - 2 = 2y     | + 2

x = 2y + 2

2. Setze den Term für die Variable in die andere Gleichung ein.

Das umgeformte Gleichungssystem lautet:

x = 2y + 2

5x - 2y = 8

Setze für x in die 2. Gleichung 2y + 2 ein.

5 $$*$$ (2y + 2) - 2y = 8

So erhältst du eine Gleichung mit einer Variablen. Diese kannst du nun berechnen.

3. Löse die neue Gleichung nach der Variablen auf.

5 $$\cdot$$ (2y + 2) - 2y = 8

10y + 10 - 2y = 8

8y + 10 = 8        | - 10

8y = - 2       | : 8

y = - 0,25

Lösungsstrategien für
lineare Gleichungssysteme:

  1. Gleichsetzungsverfahren
  2. Einsetzungsverfahren
  3. Additionsverfahren

Die Schritte 4 - 6

4. Berechne die andere Variable.

Setze y = - 0,25 in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein, um die entsprechende x Variable zu berechnen.

x = 2y + 2

x = 2 $$\cdot$$(- 0,25) + 2

x = - 0,5 + 2

x = 1,5

5. Führe eine Probe durch.

Setze den x- und y-Wert in die beiden Gleichungen ein.

    1. Gleichung

x - 2 = 2y

1,5 - 2 = 2$$\cdot$$(- 0,25)

- 0,5 = - 0,5

   2. Gleichung

5x - 2y = 8

5 $$\cdot$$ 1,5 - 2 $$\cdot$$ (- 0,25) = 8

7,5 - (- 0,5) = 8

7,5 + 0,5 = 8

8 = 8

6. Gib die Lösungsmenge an.

Zuerst gibst du den x-Wert an, dann den y-Wert.

L={(1,5|- 0,25)}

Das Einsetzungsverfahren im Überblick

Schrittfolge für das Einsetzungsverfahren

  1. Stelle eine der beiden Gleichungen nach einer günstigen Variablen um.
  2. Setze den Term für die Variable in die andere Gleichung ein.
  3. Löse die neue Gleichung nach der Variablen auf.
  4. Berechne die andere Variable.
  5. Führe die Probe durch.
  6. Gib die Lösungsmenge an.
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Anders umstellen

1. Schritt: Stelle eine der beiden Gleichungen nach einer günstigen Variablen um.

Es ist egal, welche der beiden Gleichungen du nach einer Variablen auflöst. Es ist auch egal, nach welcher Variablen du umstellst. Alle Möglichkeiten führen zu demselben Ergebnis.

Allerdings ist der Rechenweg bei manchen Möglichkeiten viel schwieriger, da du mit Brüchen rechnen musst.

Beispiel:

Stellst du im Gleichungssystem von eben

x - 2 = 2y

5x - 2y = 8

im 1. Schritt nicht die 1. Gleichung nach x um, sondern die 2. Gleichung, wird der Rechenweg schwerer. Es treten viele Brüche auf.

5x - 2y = 8      | + 2y

5x = 2y + 8       | : 5

x = $$2/5$$ y + $$8/5$$


2. Schritt: Setze den Term für die Variable in die andere Gleichung ein.

Das umgeformte Gleichungssystem lautet:

x = 2y + 2

x = $$2/5$$ y + $$8/5$$

Setze für x in die 1. Gleichung $$2/5$$ y + $$8/5$$ ein.

$$2/5$$ y + $$8/5$$ = 2y + 2

So erhältst du eine Gleichung mit einer Variablen. Diese kannst du nun berechnen.

Schritt 3 findest du auf der nächsten Seite.

Anders umstellen

3. Löse die neue Gleichung nach der Variablen auf.

$$2/5$$ y + $$8/5$$ - 2 = 2y

$$2/5$$ y - $$8/5$$ - $$10/5$$ = 2y

$$2/5$$ y - $$2/5$$ = 2y       | + $$2/5$$

$$2/5$$ y = 2y + $$2/5$$      | - 2y

$$2/5$$ y - 2y = $$2/5$$     

$$2/5$$ y - $$10/5$$y = $$2/5$$     

- $$8/5$$y = $$2/5$$     | : $$(-8/5)$$

y = - $$2/8$$= - $$1/4$$

y = - 0,25

Du siehst, dass du auch hier als y-Wert - 0,25 erhältst. Der Weg war aber schwieriger, da du mit Brüchen rechnen musstest.

Mit y = - 0,25 rechnest du ab Schritt 4 ganz normal weiter und erhältst so den entsprechenden x-Wert.











Du teilst durch einen Bruch, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst.

Einsetzen von ganzen Termen

Manchmal ist es sinnvoll, nicht nur x oder y zu ersetzen, sondern direkt einen ganzen Term.

Beispiel:

- 4x + 7y = - 1

7y = - x + 19

Hier löst du nicht weiter nach y auf. Du kannst direkt 7y in der 1. Gleichung durch den Term in der 2. Gleichung ersetzen.

- 4x - x + 19 = - 1

- 5x + 19 = - 1 | - 19

- 5x = - 20 | : (- 5)

x = 4

Mit x = 4 rechnest du ab Schritt 4 ganz normal weiter und erhältst so den entsprechenden y-Wert.

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