Gleichungen lösen – mit Parametern

Was ist ein Parameter?

Ein Parameter ist ein Zeichen, das für eine Zahl steht. Es können Buchstaben oder auch Bildzeichen sein.

Beispiel: $$x+a=2$$

Die Variable, nach der aufgelöst werden soll, ist in Gleichungen mit Parametern meistens $$x$$. Der Parameter ist $$a$$.

Wenn die Lösungsvariable anders heißt, sollte es dort stehen.

Parameter sind Platzhalter für Zahlen. Oft steht dabei, welche Zahlen du für den Parameter einsetzen darfst: $$a$$ aus $$NN$$ oder $$a$$ aus $$QQ$$ (Definitionsbereich).

Wenn nichts dabei steht, kannst du alle Zahlen einsetzen.

Gleichungen mit Parametern lösen

Auch mit Parametern gelten alle dir bekannten Regeln zum Lösen von Gleichungen.

Erinnere dich zum Beispiel an das Waagemodell um die Gleichung zu lösen.

Bei Parametergleichungen bringst du alle Elemente mit $$x$$ auf die eine Seite der Gleichung.

Beispiel:

$$x + a = 2a - 3x$$  $$| -x$$

$$a = 2a -4x$$  $$| -2a$$

$$-a = -4x$$  $$| :(-4)$$

$$a/4 = x$$

Die Lösungsmenge ist hier $$L = {a/4}$$.

Du bekommst eine Lösung in Abhängigkeit von dem Parameter $$a$$.

Wenn $$a = 100$$ ist, ist $$x =25$$.

Du kannst deine Lösung kontrollieren, indem du die Probe machst. Du setzt wieder die Lösung für $$x$$ ein.

$$a/4 + a = 2a - 3*a/4$$   $$|-a/4$$

$$a = 2a -4*a/4$$   $$|$$ kürzen

$$a = 2a - a$$

$$a=a$$

Du kannst auch ein Lösungspaar in die Gleichung einsetzen, um deine Lösung zu überprüfen.

$$x + a = 2a - 3x$$   $$|$$einsetzen des Lösungspaares $$a = 100$$ und
              $$x = 25$$

$$25 + 100 = 2*100 - 3*25$$

$$125 = 200 - 75$$

$$125 = 125$$

Knackige Parametergleichungen

Schau dir zuerst noch einmal die allgemeinen Regeln zur Termumformung an, bevor du richtig loslegst.

Beispiel:

$$2 + ax = 4a^2x$$

Wieder bringst du $$x$$ auf eine Seite.
$$2 + ax = 4a^2x$$ $$| - ax$$

$$2 = 4a^2x - ax$$

Dann klammerst du $$x$$ aus (Tipps zum Ausklammern). Ein Term mit Parameter in der Klammer entsteht.

$$2 = 4a^2x - ax$$ $$| x$$ ausklammern
$$2 = x* (4a^2-a) $$

Du dividierst durch den Klammerterm, um x herauszubekommen.
$$2 = x* (4a^2-a)$$ $$|$$ $$:$$$$(4a^2-a)$$
$$2 / (4a^2-a) = x$$

Jetzt ist es wichtig, dass der Term, durch den du dividierst, nicht gleich $$0$$ wird. Du musst die Zahlen für den Parameter ausschließen, für den der Term $$0$$ wäre.
$$2 / (4a^2-a) = x$$
Jetzt darf der Term $$4a^2-a$$ nicht $$0$$ ergeben.

Deswegen überprüfst du, wann $$4a^2-a$$ gleich $$0$$ ist, um die Zahlen auszuschließen.

$$4a^2-a =0$$

Da hilft ein Trick:

$$4a^2-a=a(4a-1)$$

$$a(4a-1)=0$$

Hier kommt $$0$$ raus, wenn $$a=0 $$ ist oder $$4a-1=0$$ ist. Denn irgendwas mal $$0$$ ist wieder $$0$$.

Also: $$a=0$$

oder

$$4a-1=0$$ $$|+1$$ und $$:4$$

$$a=1/4$$

Probe:

$$4 *0 -0 = 0$$

und

$$4*(0,25)^2 -0,25 = 0$$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet:

$$L = {$$ $$2/(4a^2-a)$$ und $$a$$ ist Element aus $$QQ$$ ohne $$0$$ und $$0,25}$$

Teilen durch 0:

Durch $$0$$ kannst du nicht teilen. Das liegt daran, dass die Umkehrung nicht definiert ist.

Beispiel:

Wäre $$4:0 = 0$$, würde gelten $$0*0 = 4$$.
Wäre $$4:0 = 4$$, würde gelten $$4*0 = 4$$.
Beides ist unsinnig!
Nichts $$*$$ Nichts kann nicht $$4$$ ergeben.
$$4 *$$ Nichts kann nicht $$4$$ ergeben.


























Mathematischer aufgeschrieben sieht das so aus:

$$L = {x|x=2/(4a²-a)^^ainQQ \\ {0, 0,25}}$$

  • $$x|$$ bedeutet, dass alle diese Bedingungen für $$x$$ gelten. Außerdem wurde für $$x$$ die Lösung gesucht.
  • $$^^$$ bedeutet „und“
  • $$in$$ heißt „Element von“
  • $$\\$$ heißt „ohne“
Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

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Parametergleichung mit einem Lächeln

$$x-2=6-2x$$   $$| - $$$$x$$

$$-2 = 6-2x - $$$$x$$  $$|-6$$

$$-8 = -2x- $$$$x$$  $$| x$$ ausklammern

$$-8 = x (-2 -$$ )   $$|: (-2 - $$$$)$$

$$-8 / (-2 - ☺) = x$$


Auch hier guckst du wieder, wann $$-2 - $$$$=0$$ ist.

$$-2 -$$ $$= 0$$  $$|+2$$

$$- ☺ $$ $$= 2$$   $$|*(-1)$$

$$=-2$$

$$L={x|x =-8 / (-2 - ☺ ) ^^ ☺ inQQ\{-2}}$$

Gleichungen mit dem Formel-Editor

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