Anwendungsaufgaben proportionale und antiproportionale Zuordnungen

Zuordnungen bestimmen und berechnen

Bei vielen Zuordnungsaufgaben musst du zuerst entscheiden, welche Art von Zuordnung vorliegt. Erst dann kannst du rechnen.

Beispiel: Entscheide, welche Art Zuordnung vorliegt und fülle dann die Tabellen aus.

x 2 3 8
y 8 6 3

proportionale Zuordnung
antiproportionale Zuordnung

x 10 1520
y 7 14 21

proportionale Zuordnung
antiproportionale Zuordnung

Wende folgende Schrittfolge an:

  • Zuerst bestimmen, welche Zuordnung vorliegt
  • Dann die Zuordnung berechnen

Auf den nächsten Seiten lernst du, wie du die Art der Zuordnung erkennst.

Welche Zuordnungen gibt es?

Für die 3 Möglichkeiten gelten folgende Eigenschaften:

Proportionale Zuordnung

  1. Je mehr … (Ausgangsgröße $$x$$), umso mehr… (zugeordnete Größe)
  2. Quotientengleichheit ($$y_1/x_1 = y_2/x_2= …$$) Teilst du die Zahlenpärchen, kommt immer der selbe Wert heraus.

Antiproportionale Zuordnung

  1. Je mehr…(Ausgangsgröße $$x$$), umso weniger…(zugeordnete Größe)
  2. Produktgleichheit ($$x_1*y_1=x_2*y_2=…$$). Multiplizierst du die Zahlenpärchen, kommt immer der selbe Wert heraus.

Beliebige Zuordnung

  1. Die Zuordnung ist weder proportional noch antiproportional.
  2. Die Größen werden beliebig zugeordnet.
    Beispiel: Temperaturen werden gemessen und verschiedenen Uhrzeiten eines Tages zugeordnet. Dann lässt sich nichts berechnen.





Eine Zuordnung kann nie proportional und antiproportional sein. Wenn du rauskriegst, dass eine Zuordnung proportional ist, musst du Antiproportionalität nicht prüfen.

So bestimmst du eine Zuordnung

Beispiel 1:

x 2 3 8
y 8 63

proportionale Zuordnung
antiproportionale Zuordnung


1. Schritt: Finde heraus, welche Zuordnung vorliegt.

Gehe die Möglichkeiten der Reihe nach durch.

  • Proportionale Zuordnung?

Je mehr … , umso mehr… ? Nein. Die obere Größe (Ausgangsgröße) steigt und die untere Größe (zugeordnete Größe) wird kleiner.

  • Antiproportionale Zuordnung?

Je mehr…, umso weniger…? Ja. Prüfe noch die Produktgleichheit.

Multipliziere die vorgegebenen Zahlenpärchen: $$(3|8)$$ und $$(8|3)$$
$$3*8=$$ $$24$$ und $$8*3=$$ $$24$$
Sie sind produktgleich.

Ja, die Zuordnung ist antiproportional.


2. Schritt: Berechne (Vervollständige die Tabelle).

Nutze die Produktgleichheit für die Berechnung der Lücken.

$$2*y=24->24:2=12$$
$$x*6=24->24:6=4$$

x 2 3 4 8
y12 8 6 3
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So bestimmst du eine Zuordnung

Beispiel 2:

x 101520
y 7 1421

proportionale Zuordnung
antiproportionale Zuordnung

1. Schritt: Finde heraus, welche Zuordnung vorliegt.

Gehe die Möglichkeiten der Reihe nach durch.

  • Proportionale Zuordnung?

Je mehr … , umso mehr… ? Ja. Beide Werte steigen an. Prüfe noch die Quotientengleichheit.

Teile die vorgegebenen Zahlenpärchen: $$(10|14)$$ und $$(15|21)$$
$$14:10=$$ $$1,4$$ und $$21:15=$$ $$1,4$$

Ja, die Zuordnung ist proportional.

2. Schritt: Berechne (Vervollständige die Tabelle).

Nutze die Quotientengleichheit für die Berechnung der Lücken.

$$7:x=1,4->7:1,4=5$$
$$y:20=1,4->1,4*20=28$$

x 5 1015 20
y 7 1421 28

So gehst du bei Anwendungsaufgaben vor

Auch bei Textaufgaben entscheide erst, welche Art Zuordnung vorliegt. Danach kannst du rechnen.

Beispiel 1: Ein Wasserbecken wird durch sechs gleich große Rohre in 15 Stunden gefüllt. Wie lange dauert das Füllen, wenn nur 5 Rohre in Betrieb sind?

1. Schritt: Finde heraus, welche Zuordnung vorliegt.

Stelle dir das Wasserbecken bildlich vor. 6 Rohre, aus denen Wasser in das Becken läuft – nach 15 Stunden ist das Becken voll. Jetzt das gleiche Bild, nur, dass es 5 Rohre sind. Nun frag dich: Dauert es länger oder kürzer, bis das Becken voll ist?

Es dauert länger, da weniger Wasser ins Becken läuft.

Also gilt:
Je weniger Pumpen, desto mehr Zeit benötigt das Befüllen des Beckens.
Oder anders:
Je mehr Pumpen, umso weniger Zeit ist für das Befüllen nötig.

Das ist das Merkmal einer antiproportionalen Zuordnung.

2. Schritt: Berechne.

Nutze den Dreisatz für antiproportionale Zuordnungen.

Anzahl Pumpen Zeit in h
6 15
1 90
5 18

Mit 5 Rohren dauert es 18 Stunden, um das Becken zu befüllen.



Anwendungsaufgaben proportionale und antiproportionale Zuordnungen Bild: Picture-Alliance GmbH (Wolfgang Thieme)

So gehst du bei Anwendungsaufgaben vor

Beispiel 2: Drei Schüler gehen zusammen zur Schule. Für ihren Schulweg benötigen sie immer 15 Minuten. Heute ist ein Schüler krank. Wie lange benötigen zwei Schüler für den Weg?

1. Schritt: Finde heraus, welche Zuordnung vorliegt.

Brauchen zwei Schüler länger oder kürzer für ihren Schulweg? Der Schulweg ist immer gleich lang. Deshalb brauchen zwei Schüler genauso lange wie drei.

Da es weder eine antiproportionale noch eine proportionale Zuordnung ist, liegt eine beliebige Zuordnung vor.

2. Schritt: Berechne.

Entfällt.

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So gehst du bei Anwendungsaufgaben vor

Beispiel 3: Aus einem Wasserrohr laufen in 5 Stunden 140 Liter Wasser in ein Becken. Wie viele Liter laufen in 12 Stunden aus dem Rohr?

1. Schritt: Finde heraus, welche Zuordnung vorliegt.

Nach 5 Stunden sind im Auffangbecken 140 Liter – nach 12 Stunden schaust du wieder nach. Und nun frag dich: Ist nach mehr Stunden, mehr oder weniger Wasser im Auffangbecken?

Es gilt:
Je mehr Zeit vergeht, desto voller ist das Becken.

Das ist das Merkmal einer proportionalen Zuordnung.

2. Schritt: Berechne.

Nutze den Dreisatz für proportionale Zuordnungen.

Anzahl Stunden Wassermenge in l
5 140
1 28
12 336

Nach 12 Stunden sind 336 Liter Wasser im Becken.

Anwendungsaufgaben proportionale und antiproportionale Zuordnungen

Ein Trick: Die Faktoren prüfen

Bei manchen Aufgaben mit großen Zahlen oder einer großen Tabelle bist du schneller, wenn du die Faktoren prüfst.

Beispiel:

Anwendungsaufgaben proportionale und antiproportionale Zuordnungen

Wenn du die Faktoren prüfst, siehst du, welche Zuordnung vorliegt.

  • Gleiche Faktoren - proportionale Zuordnung
  • Gegensätzliche Faktoren - antiproportionale Zuordnung
  • Keine Berechnung möglich - beliebige Zuordnung

Hier liegt eine antiproportionale Zuordnung vor.



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