Parameter quadratischer Funktionen untersuchen 1

Strecken und Stauchen der Normalparabel

Den Verlauf des Graphen der Normalparabel kennst du schon:

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Am besten ist, du hast die wichtigsten Punkte des Graphen im Kopf: $$(0|0) , (1|1) , (-1|1) , (2|4) , (-2|4)$$.

Der Parameter $$a$$ in $$f(x)=a*x^2$$

Manchmal brauchst du aber auseinandergebogene oder zusammengebogene Parabeln. Dann brauchst du den Parameter $$a$$ in der Funktionsgleichung.

In der Sprache der Mathematik heißt es:

  • Auseinanderbiegen = Stauchen
  • Zusammenbiegen = Strecken

Alle Parabeln der Form $$f(x)=a*x^2$$ verlaufen durch den Punkt $$(0|0)$$. Dort liegt auch der Scheitelpunkt $$S$$ der Parabel.

  • Ein Parameter ist ein Platzhalter für Zahlen. Du kannst alle möglichen Zahlen für den Parameter $$a$$ einsetzen. Außer der 0! Denn sonst $$f(x)=0*x^2=0$$
  • $$f(x)=x^2=1*x^2$$
    Bei der Funktionsgleichung der Normalparabel ist der Wert des Parameters $$a$$ gleich $$1$$.

Was bewirkt der Parameter $$a$$ für $$a=2$$?

Für $$a=2$$ heißt die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion $$f(x)=$$$$2$$$$*x^2$$.

Mit einer Wertetabelle siehst du, wie sich der Graph von $$f(x)=$$$$2$$$$*x^2$$ im Vergleich zur Normalparabel ändert.

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Rechenbeispiel: $$f(-1)=2*(-1)^2=2*1=2$$

Der Faktor $$2$$ bewirkt, dass die $$y$$-Werte der Punkte der Normalparabel verdoppelt werden. Der Graph sieht so aus:

Parameter quadratischer Funktionen untersuchen 1

Der „veränderte“ Graph ist im Vergleich zur Normalparabel zusammen gebogen.
Zum $$x$$-Wert 1 gehört jetzt der $$y$$-Wert 2. Deshalb steigt der neue Graph schneller an.
Mathematisch heißt es: Die neue Parabel ist eine Streckung der Normalparabel um den Faktor „2“.

Was bewirkt der Parameter $$a$$ für $$a=1/2$$?

Für $$a=1/2$$ heißt die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion $$f(x)=$$$$1/2$$$$x^2$$.
Hier sieht die Wertetabelle wir folgt aus:

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Rechenbeispiel: $$f(-2)=1/2*(-2)^2=1/2*4=2$$

Man kann erkennen, dass der Faktor $$1/2$$ die $$y$$-Werte der Punkte der Normalparabel halbiert. Der veränderte Graph sieht dann wie folgt aus:

Parameter quadratischer Funktionen untersuchen 1

Der „veränderte“ Graph ist im Vergleich zur Normalparabel breiter geworden. Da z.B. zum $$x$$-Wert 2 jetzt der $$y$$-Wert 2 gehört (normal der $$y$$-Wert 4), steigt der neue Graph langsamer an.
Mathematisch sprechen wir von einer Stauchung der Normalparabel mit dem Faktor $$1/2$$.

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Negativer Parameter $$a$$ mit $$a=-1$$

Was passiert eigentlich, wenn der Parameter $$a$$ negativ ist?
Für $$a=-1$$ heißt die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion $$f(x)=$$$$-1$$$$*x^2=-x^2$$.

Zunächst wieder die Wertetabelle:

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Rechenbeispiel: $$f(-2)=(-1)*(-2)^2=(-1)*4=-4$$

Der Faktor $$-1$$ bewirkt, dass die „normalen“ $$y$$-Werte negativ werden. Der veränderte Graph sieht dann wie folgt aus:

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Der „veränderte“ Graph ist im Vergleich zur Normalparabel weder breiter noch schmaler geworden. Er ist nach unten geöffnet. Der Graph von $$f(x)=-x^2$$ entsteht durch die Spiegelung der Normalparabel an der $$x$$-Achse.

Ein negativer Parameter $$a$$ bewirkt, dass die Parabel nach unten geöffnet ist.

Noch 2 Beispiele

Schau dir die zwei Beispiele für $$a=-2$$ und $$a=-1/2$$ an. Die Funktionen heißen $$f(x)=-2*x^2$$ und $$g(x)=-1/2*x^2$$.
Die beiden Wertetabellen:

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Die Graphen:

Parameter quadratischer Funktionen untersuchen 1

So kannst du die beiden Graphen beschreiben:

$$f(x)=-2*x^2$$

  • Der Graph ist nach unten geöffent, weil der Parameter negativ ist.
  • Der Graph ist gestreckt.

$$f(x)=-1/2*x^2$$

  • Der Graph ist nach unten geöffnet, weil der Parameter negativ ist.
  • Der Graph ist gestaucht.

Im Überblick

Der Parameter $$a$$ bei $$f(x)=a*x^2$$ bewirkt:

  • Ist der Parameter $$a=1$$, so ist der Graph der Funktion die Normalparabel.
  • Ist der Parameter $$a$$ größer als $$1$$ $$(a>1)$$ oder kleiner als $$-1$$ $$(a<-1)$$, so wird der Graph gegenüber der Normalparabel gestreckt.
  • Hat der Parameter $$a$$ einen Wert zwischen $$-1$$ und $$1$$ $$(-1<a<1$$, außer $$0)$$, so wird der Graph gegenüber der Normalparabel gestaucht.
  • Ist der Parameter $$a$$ negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.
  • Der Parameter $$a$$ darf nicht $$0$$ sein. Sonst wäre $$f(x)=0*x^2=0$$.

Veranschaulichen von „Strecken“ und „Stauchen“

Das Strecken der Normalparabel kannst du dir als als Zusammenbiegen oder Zusammendrücken der Normalparabel vorstellen.

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Das Stauchen der Normalparabel kannst du dir als Auseinanderbiegen oder Auseinanderziehen vorstellen.

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Für „faule“ Mathematiker: Die Betragsschreibweise

Du kannst sowas wie $$-1<a<1$$ für das Stauchen der Parabel noch kürzer aufschreiben.
Dazu nimmst du den Betrag: $$|a|<1$$
Gesprochen: Betrag von $$a$$ ist kleiner als $$1$$.

$$|a|<1$$ beinhaltet dieselben Zahlen wie $$-1<a<1$$

Warum?

Zwei Zahlen für $$a$$ aus $$-1<a<1$$ sind $$0,5$$ und $$-0,5$$. Es gilt: $$|-0,5|=|+0,5|=0,5$$.

Die Zahl $$+0,5$$ ist genauso weit entfernt von der Null wie $$-0,5$$. Es liegen also sowohl $$-0,5$$ und $$0,5$$ in $$|a|<1$$.

Der Betrag ist der Abstand von der Null auf dem Zahlenstrahl.
Beispiele:

$$|2| = 2$$
$$|-2| = 2$$

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Der Betrag einer Zahl ist immer positiv.



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