Umkehrfunktionen untersuchen

Was ist eine Umkehrfunktion?

Ein Liter Kraftstoff der Marke Super-Extra-Mega-Power kostet 2 €.
Familie Sparsam berechnet die Kosten und erstellt eine Tabelle für die Zuordnung Benzin in $$l$$ $$rarr$$ Kosten in €:

Benzin in $$l$$ 0 10 20 30 40 50
Kosten in € 0 20 40 60 80 100

Zu dieser Zuordnung gehört die Funktionsgleichung y = f(x) = 2x.

Aus dieser Tabelle kannst du einer bestimmen Menge Benzin eindeutig die Kosten ablesen.
Umgekehrt geht’s auch: Du kannst einer Rechnung in € eindeutig die getankte Menge Benzin in $$l$$ zuordnen!

Eine Zuordnung mit dieser Eigenschaft wird als eindeutig umkehrbar bezeichnet.
Die entsprechende Funktion heißt dann Umkehrfunktion $$f^-1$$.
Die Funktionen $$f$$ und $$f^-1$$ heißen auch zueinander invers.

Die Graphen von $$f$$ und $$f^-1$$

Das Beispiel mit der Zuordnung Benzin in $$l$$ $$rarr$$ Kosten in €
führte auf die Funktionsgleichung y = f(x) = 2x und die Wertetabelle:

Benzin in $$l$$ 0 10 20 30 40 50
Kosten in € 0 20 40 60 80 100

Es handelt sich um eine lineare Funktion. Der Graph sieht so aus:

Umkehrfunktionen untersuchen

Aus der Wertetabelle und dem Graphen folgt, dass z.B. 20 l Benzin 40 € kosten.

Umgekehrt folgt eine Umrechnungstabelle von Kosten in € in Benzin in $$l$$ durch Vertauschen von Eingangs- und Ausgangsgröße der Zuordnung:

Kosten in € 0 20 4060 80 100
Benzin in $$l$$ 0 10 20 30 40 50

Werden x- und y-Werte vertauscht, gehen die Punkte (10|20) bzw. (20|40) in die Punkte (20|10) bzw. (40|20) über.
Im Koordinatensystem ergibt das auch wieder eine Gerade. Sie geht durch Spiegelung des Graphen von f an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten hervor. Die Spiegelachse kannst du auch als Funktion angeben: f(x)=x.
Diese umgekehrte Zuordnung von $$f(x) = 2x$$ ist die Umkehrfunktion $$f^-1(x) = frac{1}{2}x$$.

Umkehrfunktionen untersuchen

Den Graphen von $$f^(-1)$$ erhältst du, wenn du $$f$$ an dem Graphen von $$y=f(x)=x$$ spiegelst.

Gibt es zu jeder Funktion eine Umkehrfunktion?

Umkehrfunktionen untersuchen

Linke Abbildung: Einer Zahl auf der y-Achse sind in diesem Beispiel drei Zahlen auf der x-Achse zugeordnet.

x 0 0,15 1 1,40 2 2,45 3
y 2 2,5 3 2,5 2 2,5 5

Diese Funktion ist nicht umkehrbar.

Rechte Abbildung: Jeder Zahl auf der y-Achse ist genau eine Zahl auf der x-Achse zugeordnet.

x 0 1 1,42 2
y 0 2 2,5 4

Diese Funktion ist umkehrbar.

Eine Funktion ist genau dann eindeutig umkehrbar, wenn jede Horizontale den Graphen einer Funktion nur in einem Punkt schneidet (Horizontalen-Test).

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Rechnerische Bestimmung von $$f^-1$$

Beispiel: $$y=f(x)=2x$$

1. Schritt: Auflösen von y = f(x) nach x:

$$2x = y = f(x) | : 2$$

$$ x = \frac{y}{2}$$

2. Schritt: Vertauschen der Variablen:

$$ y = \frac{x}{2}$$

3. Schritt: Notieren der Umkehrfunktion:

$$ f^-1(x) = \frac{x}{2}$$

Die hier angegebene Schrittfolge gilt allgemein für umkehrbare Funktionen.

Untersuchen von $$y = f(x) = 0,5x - 0,5$$

Bilden der Umkehrfunktion

1. Schritt: Auflösen von y = f(x) nach x:

$$0,5x-0,5 = y = f(x) | + 0,5$$

$$ 0,5x = y+0,5 | *2$$

$$ x = 2y+1$$

2. Schritt: Vertauschung der Variablen:

$$ y = 2x+1$$

3. Schritt: Notieren der Umkehrfunktion:

$$ f^-1(x) = 2x+1$$

Graphen von $$f(x)$$ und $$f^-1(x)$$

Umkehrfunktionen untersuchen

Untersuchen von $$y = f(x) = 0,5x - 0,5$$

Funktionswerte von $$f$$ und $$f^-1$$

Die Wertetabellen von $$f(x)=0,5x-0,5$$ und $$f^-1(x)=2x+1$$ lauten:

x$$f(x)$$
-1
-1
0
-0,5
1
0
2
0,5
5
2
x$$f^-1(x)$$
-1
-1
-0,5
0
0
1
0,5
2
2
5











Aus den Wertetabellen kannst du ablesen: für $$x = 5$$ folgt $$f(5) = 2$$.
Damit folgt: $$f^-1(2) = 5$$ sowie durch schrittweises Einsetzen:
$$f(f^-1(2)) = 2$$ und $$f^-1(f(5)) = 5$$.

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Eigenschaften von Funktion $$f$$ und Umkehrfunktion $$f^-1$$

Eine Zuordnung, bei der jedem Wert x aus dem Definitionsbereich D genau ein Wert y aus dem Wertebereich W zugeordnet wird, ist eine Funktion.
Soll umgekehrt jedem y-Wert der zugehörige x-Wert zugeordnet werden, muss die Umkehrfunktion gebildet werden.

  • Eine Funktion $$f$$, die eine Umkehrfunktion $$f^-1$$ besitzt, ist eine umkehrbare Funktion.
  • Eine umkehrbare Funktion ist eine eindeutige Funktion.
  • Die Funktionen $$f$$ und $$f^-1$$ werden auch als zueinander invers bezeichnet.
  • Die Wertetabelle von $$f^-1$$ folgt aus der von $$f$$ durch Vertauschung von Eingangs- und Ausgangsgröße.
  • Wenn für eine Funktion $$f$$ die Umkehrfunktion $$f^-1$$ existiert, gilt $$f(f^-1(x)) = f^-1(f(x)) = x$$.
  • Der Graph von $$f^-1$$ folgt aus dem von $$f$$ durch Spiegelung an der Geraden y = x.
  • Wird der Graph einer Funktion $$f$$ von jeder Horizontalen nur in einem Punkt geschnitten, so besitzt $$f$$ eine Umkehrfunktion $$f^-1$$.
  • Die Funktionsgleichung von $$f^-1$$ folgt aus der von $$f$$ durch Vertauschung von x und y in f(x) und Auflösung der entstehenden Gleichung nach y.
$$f$$ $$f^-1$$
Funktionsgleichung y = f(x) x = $$f^-1$$(y)
Definitionsbereich D x-Werte y-Werte
Wertebereich W y-Werte x-Werte
Wertepaare ( x | y ) ( y | x )


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