Bruchterme umformen

Bruchterme

Gewöhnliche Brüche wie $$2/3$$ kennst du bereits.

Anstatt Zahlen können auch Variablen in dem Bruch stehen. Brüche mit Variablen heißen Bruchterme.

Beispiele:

  • $$1/x$$
  • $$u/v$$
  • $$(2+x)/x$$
  • $$8/(a-b)$$
  • $$(3x*(2+y))/(6y)$$.


Häufig gibt es bei Bruchtermen Zusätze wie

  • $$x/y$$, $$y!=0$$
  • $$1/(a-b)$$, $$a!=b$$

Das ist wichtig, weil der Nenner eines Bruches nicht $$0$$ sein darf.

Dieser Strich bedeutet dabei nichts anderes, als dass die obere Zahl, der Zähler, durch die untere Zahl, den Nenner geteilt wird.
$$2/3 = 2:3$$

Kürzen

Der Bruchterm $$(x*(2+y))/(5x)$$ mit $$x!=0$$ hat im Zähler und im Nenner die Variable $$x$$ als Faktor.
Das heißt: $$x$$ ist ein gemeinsamer Teiler, den du kürzen kannst.

$$(x*(2+y))/(5x)=((2+y))/5$$ für $$x!=0$$.

Das Kürzen ist die Umkehrung des Erweitern.
Bei gewöhnlichen Brüchen kannst du Kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.

Kürzen von Termen

Der Bruchterm $$((y-3)*17xyz)/((y-3)*7a)$$ mit $$y!=3$$ und $$a!=0$$ hat im Zähler und im Nenner mit $$(y-3)$$ sogar einen ganzen Term gleich.

Du kannst $$(y-3)$$ kürzen und erhälst den Term $$(17xyz)/(7a)$$ mit $$y!=3$$ und $$a!=0$$ .

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Beispiele

Ein paar Beispiele:

$$(3ay)/(3y)=a$$ für $$y!=0$$

$$((x+y)*5)/(2x*(x+y))=(5)/(2x)$$ für $$x!=0$$ und $$x!=-y$$.

$$(a*(x^2+4x-5))/(x*y*a)=(x^2+4x-5)/(x*y)$$ für $$x!=0,y!=0$$ und $$a!=0$$.

Umformen und Kürzen

Der Term $$(2x^2+2x)/(4x)$$ mit $$x!=0$$ lässt sich nicht auf Anhieb kürzen.

Du kannst aber im Zähler $$2x$$ ausklammern und anschließend kürzen.

$$(2x^2+2x)/(4x)=(2x*(x+1))/(2x*2)=(x+1)/2$$ mit $$x!=0$$.


Dies kann auch im Nenner der Fall sein, oder in Zähler und Nenner:

$$(4ab-a+3a^2)/(a-ab)=(a*(4b-1+3a))/(a*(1-b))=(4b-1+3a)/(1-b)$$ mit $$a!=0$$ und $$b!=1$$.

Bruchterme „auf den gleichen Nenner bringen“

Bruchterme lassen sich (wie normale Brüche auch) nicht immer einfach so addieren. Bei normalen Brüchen benutzt du dafür einen Trick: Du bringst die Brüche auf den gleichen Nenner.

Auf dem selben Wege kannst du auch Bruchterme addieren.
Addiere die Bruchterme $$x/2$$ und $$y/3$$. Die beiden haben nicht denselben Nenner. Wenn du aber die beiden Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen erweiterst, kannst du sie addieren:

$$x/2+y/3=(3*x)/(3*2)+(2*y)/(2*3)=(3x+2y)/6$$

Erinnerung:
$$4/7+3/5=(5*4)/(5*7)+(3*7)/(5*7)$$

$$=(5*4+3*7)/(5*7)=41/35$$

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Bruchterme „auf den gleichen Nenner bringen“

Leider stehen nicht immer nur Zahlen im Nenner, sondern oft auch Variablen oder ganze Terme.
Addiere die beiden Bruchterme $$y/y$$ und $$y/(y+1)$$.
Erweitere beide Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen.

$$(y*(y+1))/(y*(y+1))+(y*y)/(y*(y+1))=(y*(y+1)+y*y)/(y*(y+1))$$

Prüfe, ob du kürzen kannst.

$$(y*(y+1)+y*y)/(y*(y+1))=(y*(2y+1))/(y*(y+1))=(2y+1)/(y+1)$$




Achtung:
Hier kannst du nicht weiter kürzen!
$$(2y+1)/(y+1)$$ ist nicht gleich
$$(2y)/y$$ oder $$(2+1)/(1+1)$$

Terme mit dem Formel-Editor

So gibst du Terme auf kapiert.de ein:

 



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