Anwendungsaufgaben mit quadratischen Gleichungen

Anwendungsaufgaben

Spannender als das bloße Lösen von Gleichungen sind Anwendungsaufgaben. Mit dem Aufgabentext erstellst du erst mal deine quadratische Gleichung, mit der du die Aufgabe dann lösen kannst.

Hier kommen 4 Beispiele:

Zahlenrätsel

Aufgabe:
Für welche Zahlen gilt: Das Quadrat einer Zahl vermehrt um ihr Fünffaches beträgt 14.

Lösungsweg: Übersetze den Aufgabentext in eine Gleichung.

  • Gesucht wird eine unbekannte Zahl, die kannst du $$x$$ nennen.
  • Das Quadrat dieser Zahl kannst du notieren als $$x^2$$.
  • Das Fünffache der Zahl ist $$5x$$.

Der erste Term soll um den zweiten Term vermehrt werden. Die Summe ergibt 14:
$$x^2+5x=14$$

Die Rechnung:
$$x^2+5x=14   |$$quadratische Ergänzung
$$x^2+5x+2,5^2=14+2,5^2$$
$$(x+2,5)^2=20,25$$

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).
1. Fall: $$x+2,5=sqrt(20,25)$$
2. Fall: $$x+2,5=-sqrt(20,25)$$

  1. Lösung: $$x+2,5=4,5 rArr x_1=2$$
  2. Lösung: $$x+2,5=-4,5 rArrx_2=-7$$

Probe:
$$2^2+5*2=14$$, also $$14=14$$
$$(-7)^2+5*(-7)=14$$, also $$49-35=14$$

Aus der Geometrie

Aufgabe:
Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $$6 cm$$ und $$5 cm.$$ Verkürze alle Seiten um jeweils dieselbe Länge, sodass der Flächeninhalt $$2/3$$ des ursprünglichen Inhalts beträgt.

Lösungsweg:
Hier kannst du auf verschiedenen Wegen loslegen, z.B zunächst einmal den originalen Flächeninhalt berechnen. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $$A=5 cm*6 cm=30 cm^2$$.
$$2/3$$ dieses Flächeninhalts sind $$2/3*30 cm^2=20 cm^2$$.
Dieser Flächeninhalt soll sich aus den neuen Seitenlängen ergeben. Die neuen Seitenlängen sind: $$5-x$$ und $$6-x$$. Es gilt also:
$$(5-x)*(6-x)=20$$

Die Rechnung:
$$(5-x)*(6-x)=20   |$$Klammern auflösen
$$30-5x-6x+x^2=20$$
$$30-11x+x^2=20   |-30$$; sortieren

$$x^2-11x=-10   |$$quadratische Ergänzung
$$x^2-11x+5,5^2=-10+5,5^2$$
$$(x-5,5)^2=-10+30,25$$
$$(x-5,5)^2=20,25$$

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).
1. Fall: $$x-5,5=sqrt(20,25)$$
2. Fall: $$x-5,5=-sqrt(20,25)$$

  1. Lösung: $$x-5,5=4,5 rArr x_1=10$$
  2. Lösung: $$x-5,5=-4,5 rArrx_2=1$$

Die erste Lösung kommt nicht in Frage, da man keine der Seiten um $$10 cm$$ verkürzen kann. Für $$x=1$$ ergibt sich dann:
$$(5-1)*(6-1)=20$$ also $$4*5=20$$
Die neuen Seitenlängen betragen also $$4 cm$$ und $$5 cm$$.







Flächeninhalt eines Rechtecks


A = a·b

Anwendungsaufgaben mit quadratischen Gleichungen

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Klassenfahrt

Anwendungsaufgaben mit quadratischen Gleichungen

Aufgabe:
Für einen Ausflug hat die Klasse 9b einen Bus für 336 € gemietet. Da am Ausflugstag drei Schüler fehlen, muss der Fahrpreis pro Schüler um 2 € erhöht werden. Wie viele Schüler wollten ursprünglich an der Fahrt teilnehmen?

Lösungsweg: Übersetze den Aufgabentext in eine Gleichung.

  • unbekannte Anzahl der Schüler, die ursprünglich an der Fahrt teilnehmen wollten: $$x$$.
  • neue Anzahl der Schüler: $$x-3$$.
  • früherer Fahrpreis: $$336/x$$ Dieser muss jetzt um $$2$$ $$€$$ erhöht werden.
  • neuer Preis pro Person: $$336/x+2$$
    Die neue Schüleranzahl multipliziert mit dem neuen Preis pro Person ergibt dann wieder den Gesamtpreis von $$336$$ €.

Die Gleichung: $$(x-3)*(336/x+2)=336$$

Die Rechnung:

$$(x-3)*(336/x+2)=336   |$$ausmultiplizieren
$$336-1008/x+2x-6=336   |*x$$
$$336x-1008+2x^2-6x=336x   |-336x$$; sortieren
$$2x^2-6x-1008=0   |:2$$
$$x^2-3x-504=0   |+504$$
$$x^2-3x=504   |$$ quadratische Ergänzung

$$x^2-3x+1,5^2=504+1,5^2$$
$$(x-1,5)^2=506,25$$

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).
1. Fall: $$x-1,5=sqrt(506,25)$$
2. Fall: $$x-1,5=-sqrt(506,25)$$

  1. Lösung: $$x-1,5=22,5 rArr x_1=24$$
  2. Lösung: $$x-1,5=-22,5 rArrx_2=-21$$

Die zweite Lösung kommt nicht in Frage, da es keine negativen Schülerzahlen geben kann. Daher ist nur $$x=24$$ die richtige Lösung für die ursprüngliche Anzahl der Schüler.

Probe:
Ursprünglich: $$24*336/24=336   |$$wahre Aussage
Neu: $$(24-3)*(336/24+2)=336$$
$$21*(14+2)=336$$
$$21*16=336   |$$wahre Aussage
Somit stimmt die erhaltene Lösung.

Optimierungsaufgabe

Bei Optimierungsaufgaben geht es darum, dass du etwas Kleinstes bzw. Größtes herausfindest. Mit quadratischen Funktionen ist das dann der Hoch- oder Tiefpunkt. Du brauchst also die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform. Dann kannst du den Hoch- oder Tiefpunkt bestimmen.

Aufgabe: Gesucht ist eine (ganze) Zahl, die mit der um 4 vergrößerten Zahl das kleinste Produkt ergibt. Gib die Zahl und das Produkt an.

Lösungsweg: Übersetze den Aufgabentext in eine Gleichung.

  • Die nicht bekannte Zahl heißt wieder $$x$$.
  • Das Produkt mit der Zahl um 4 vergrößert: $$x*(x+4)$$

Dieser Term gibt für alle Werte für $$x$$ ein Produkt aus. Deshalb kannst du diesen Term auch einer Funktion zuordnen. Es könnte z.B. heißen:
$$f(x)=x*(x+4)$$

Forme in die Scheitelpunktform um:
$$f(x)=x^2+4x$$
$$f(x)=(x+2)^2-4$$
Daraus folgt der Scheitelpunkt: $$S(-2|-4)$$.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, weil vor dem $$x^2$$ das Vorzeichen $$+$$ steht, nicht $$-$$. Also ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel.

Der $$x$$-Wert der Parabel $$(-2)$$ gibt dir dann die gesuchte Zahl an, der $$y$$-Wert $$(-4)$$ ist das kleinstmögliche Produkt.



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