Den Kosinussatz anwenden

Der Kosinussatz

Den Kosinussatz anwenden

$$c=7$$ $$km$$, $$b=3,6$$ $$km$$, $$alpha=56,3^°$$

Berechne die Seite $$a$$.

Hm, den Sinussatz kannst du mit den gegebenen Stücken nicht anwenden.

Aber es gibt da noch einen Satz - den Kosinussatz!

Die Herleitung

Den Kosinussatz anwenden

Zeichne die Höhe ein, um rechtwinklige Dreiecke zu erzeugen.

Dreieck ADC

$$cos alpha=y/b$$ $$|*b$$

$$b*cos alpha = y$$


Rechtwinkliges Dreieck DBC (Satz des Pythagoras)

$$h_c^2+x^2=a^2$$  $$|x=c-y$$

$$h_c^2+(c-y)^2=a^2$$  $$|-(c-y)^2$$

$$h_c^2=a^2-(c-y)^2$$


Rechtwinkliges Dreieck ADC (Satz des Pythagoras)
$$h_c^2+y^2=b^2$$  $$|-y^2$$

$$h_c^2=b^2-y^2$$


Gleichsetzen von $$h_c^2$$
$$a^2-(c-y)^2$$ $$=$$ $$b^2-y^2$$  $$|+(c-y)^2$$

$$a^2=b^2-y^2+(c-y)^2$$

$$a^2=b^2-y^2+c^2-2cy+y^2$$

$$a^2=b^2+c^2-2*c*$$ $$y$$

$$a^2=b^2+c^2-2*c*$$ $$b*cos alpha$$

Das ist eine Gleichung des Kosinussatzes.

Kosinussatz

In jedem Dreieck gilt:

$$a^2$$ $$=b^2+c^2-2*b*c*cos$$$$alpha$$
$$b^2$$ $$=a^2+c^2-2*a*c*cos$$$$beta$$
$$c^2$$ $$=a^2+b^2-2*a*b*cos$$$$gamma$$

Seite und zugehöriger Winkel stehen immer außen.

Ein Beispiel

Jetzt kannst du die Seite $$a$$ des Dreiecks zu Beginn berechnen.

Den Kosinussatz anwenden

$$c=7$$ $$km$$, $$b=3,6$$ $$km$$, $$alpha=56,3^°$$

Setze die gegebenen Stücke in den Kosinussatz ein:

$$a^2=3,6^2+7^2-2*3,6*7*cos 56,3^°$$

$$a^2=34$$ $$|sqrt( )$$

$$a=5,83$$ $$km$$

Der Kosinussatz:

$$a^2$$ $$=b^2+c^2-2*b*c*cos$$$$alpha$$
$$b^2$$ $$=a^2+c^2-2*a*c*cos$$$$beta$$
$$c^2$$ $$=a^2+b^2-2*a*b*cos$$$$gamma$$

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