Sinus- und Kosinusfunktion 1– Eigenschaften

Sinus- und Kosinusfunktion unter der Lupe

Mit Funktionen hantierst du schon ziemlich lange: Definitionsbereich, Nullstellen, Funktionswerte, … und auch Sinus- und Kosinusfunktionen im Einheitskreis und im rechtwinkligen Dreieck kennst du schon.

Jetzt lernst du mehr über Definitionsbereich und Nullstellen von Sinus und Kosinus. :-) Weil die Funktionen periodisch sind, sieht’s hier ein bisschen anders aus.

Hier kommen die Sinus- und die Kosinusfunktion mit den Winkelgrößen an der x-Achse:


Sinus- und Kosinusfunktion 1

Die Winkelgrößen kannst du dir zwar gut vorstellen, aber zum Rechnen und Untersuchen der Funktion ist das Bogenmaß praktischer. Das sieht dann so aus:


Sinus- und Kosinusfunktion 2

Definitionsbereich und Wertebereich kannst du gut ablesen.
Für x kannst du alle Zahlen einsetzen, also $$D=RR$$.
Die y-Werte liegen zwischen $$-1$$ und $$1$$, also
$$W={y in RR$$ und $$-1 le y le 1 }$$.









Die Einteilung mit $$pi$$ ist bestimmt erst mal ungewohnt. Später wird’s aber selbstverständlich für dich werden. Hab immer im Kopf: $$pi$$ entspricht $$180^°$$.

Nullstellen

Sinusfunktion

Nullstellen waren bisher immer sehr übersichtlich: Eine Funktion hatte entweder gar keine Nullstelle oder eine oder zwei.

Und hier? Gibt es unendlich viele Nullstellen!
Die Funktion ist ja periodisch und geht unendlich nach links und rechts weiter.


Sinus- und Kosinusfunktion 3

Als Nullstellen kannst du hier ablesen:

$$x_1=-2pi$$
$$x_2=-pi$$
$$x_3=0$$
$$x_4=pi$$
$$x_5=2pi$$
$$x_6=3pi$$

Wie kannst du das für alle Nullstellen der Sinusfunktion verallgemeinern?

In Worten: alle Vielfachen von $$pi$$
Als Formel: $$k*pi$$ mit $$k in ZZ$$

Das heißt: $$sin(k*pi)=0$$ für $$k in ZZ$$


Und die Kosinusfunktion?

Das geht so ähnlich:


Sinus- und Kosinusfunktion 4

Lies ab:
$$x_1=-3/2pi$$ $$x_2=-pi/2$$ $$x_3=pi/2$$
$$x_4=3/2pi$$ $$x_5=5/2pi$$


Allgemein:
In Worten: zu $$pi/2$$ Vielfache von $$pi$$ addieren
Als Formel: $$pi/2+k*pi$$ mit $$k in ZZ$$

Das heißt: $$cos(pi/2+k*pi)=0$$ für $$k in ZZ$$

Eine Nullstelle ist eine Stelle $$x$$, an der die Funktion $$f$$ den $$y$$-Wert $$0$$ hat. Es gilt $$f(x)=0$$. An der Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse.










$$ZZ$$ sind die ganzen Zahlen: $${…;-2;-1;0;1;2;…}$$

Hoch- und Tiefpunkte

Bei den Funktionen, die du bisher kennengelernt hast, gab es einen Hoch- oder Tiefpunkt, wenn überhaupt.
Beim Hochpunkt nimmt die Funktion den größten Funktionswert an und beim Tiefpunkt den kleinsten.*

Bei der Sinusfunktion gibt es unendlich viele Hochpunkte. Der größte Funktionswert ist 1.
Es gibt unendlich viele Tiefpunkte, der kleinste Funktionswert ist -1.


Sinus- und Kosinusfunktion 5

Die Hochpunkte haben die Koordinaten
$$(pi/2+2pi*k  | 1)$$ für $$k in ZZ$$.
Die Tiefpunkte haben die Koordinaten
$$(-pi/2+2pi*k  | -1)$$ für $$k in ZZ$$.


Weiter mit Kosinus


Sinus- und Kosinusfunktion 6

Die Hochpunkte haben die Koordinaten $$(2pi*k  | 1)$$ für $$k in ZZ$$.
Die Tiefpunkte haben die Koordinaten $$(pi+2pi*k  | -1)$$ für $$k in ZZ$$.


*Wenn du’s ganz genau wissen willst:

Mathematisch ist das nicht ganz richtig. Es gibt Funktionen (die du noch nicht kennst), deren Funktionsgraphen haben Hoch- und Tiefpunkte (diese Hügel oder Täler im Graphen) und haben auch unendlich große bzw. kleine Funktionswerte. (Spannend, hm? Guck dir mal $$f(x)= x^3+3x^2-2$$ an.)
Ganz korrekt müsste es hier heißen: Beim Hochpunkt nimmt die Funktion in einer bestimmten Umgebung den größten Funktionswert an und beim Tiefpunkt den kleinsten.

Zur Erinnerung 2 Parabeln:

Sinus- und Kosinusfunktion 7

Der Hochpunkt ist hier (-3,25|2) und der Tiefpunkt (3,5|0,5)


Maxima sind die höchsten Punkte der Kurven, also die „Bergspitzen“.
Minima sind die tiefsten Punkte der Kurven, also die Talsohlen.

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Symmetrie beim Sinus

Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Stelle dir vor, wie du den rechten Arm des Graphen um (0|0) drehst.


Sinus- und Kosinusfunktion 8

Für die Funktionswerte bedeutet die Punktsymmetrie:


Sinus- und Kosinusfunktion 9

In Worten: $$sin(-x)$$ ist $$sin x$$ mit umgedrehtem Vorzeichen.
Als Formel: $$sin(-x)=-sin x$$


Beispiel:
$$sin (pi/4)=0,71$$
$$sin (-pi/4)=-0,71$$

Symmetrie allgemein:
Achsensymmetrie: $$f(x)=f(-x)$$
Punktsymmetrie: $$f(-x)=-f(x)$$

Symmetrie beim Kosinus

Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch.


Sinus- und Kosinusfunktion 10

Für die Funktionswerte bedeutet die Achsensymmetrie:


Sinus- und Kosinusfunktion 11

In Worten: Ein x-Wert und der negative x-Wert haben denselben Kosinuswert.
Als Formel: $$cos(-x)=cos x$$


Beispiel:
$$cos (3/8pi)=0,38$$
$$cos (-3/8pi)=0,38$$

Symmetrie allgemein:
Achsensymmetrie: $$f(x)=f(-x)$$
Punktsymmetrie: $$f(-x)=-f(x)$$

Sinus- und Kosinusfunktion kurz und knapp

Sinus- und Kosinusfunktion 12

Sinus Kosinus
y-Werte -1 bis +1 -1 bis +1
Periodenlänge 2 $$pi$$ bzw. 360° 2 $$pi$$ bzw. 360°
Position der Hochpunkte $$pi/2$$, $$(5pi)/2,...$$ $$0$$, $$2pi$$, $$4pi,...$$
Position der Tiefpunkte $$(3pi)/2$$, $$(7pi)/2,...$$ $$pi$$, $$3pi$$,...
Symmetrie punktsymmetrisch zu (0|0) achsensymmetrisch zur y-Achse
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