Den 1. und 2. Strahlensatz anwenden

Beide Strahlensätze zusammen

Den 1. und den 2. Strahlensatz nutzt du, um eine unbekannte Strecke auszurechnen.

Den Strahlensatz benötigst du zum Beispiel in der Landvermessung oder in dem Försterbetrieb. Mithilfe von Strahlensätzen kannst du Streckenlängen bestimmen - zum Beispiel die Baumhöhe oder die Flussbreite.

Den 1. und 2. Strahlensatz anwenden Bild: iStockphoto.com (Mordolff)

Du hast bei einem Strahlensatz immer 2 parallele Strecken. Das Symbol für parallel ist $$||$$. Du liest dann oft $$g$$ $$||$$ $$h$$. Das heißt, dass die Strecke $$g$$ parallel zu $$h$$ ist.

Unterscheidung der Strahlensätze

Der 1. Strahlensatz gibt Streckenverhältnisse auf 2 Strahlen wieder.

Den 1. und 2. Strahlensatz anwenden

Der 2. Strahlensatz bezieht einen Strahl und die Parallelen mit ein.

Den 1. und 2. Strahlensatz anwenden

In beiden Fällen kannst du diese Strahlensatzgleichung verwenden.

Den 1. und 2. Strahlensatz anwenden

oder

$$bar(ZB)/bar(ZA) = bar(ZB’)/bar(ZA’)$$ (1. Strahlensatz)


$$bar(AB)/bar(ZA) = bar(A’B’)/bar(ZA’)$$ (2. Strahlensatz)

Die beiden kurzen Teilstücke werden mit den beiden langen Teilstücken verglichen. Diese Verhältnisgleichung kannst du umstellen. Geschickt ist, wenn immer die gesuchte Strecke im Zähler steht.

Du rechnest immer mit der Gesamtstrecke von $$Z$$ bis $$A’$$ oder von $$Z$$
bis $$B’$$.

Aufgaben mit Strahlensätzen

So gehst du vor:

1) Entscheide, ob du den 1. oder den 2. Strahlensatz verwendest.
2) Stelle die Verhältnisgleichung auf.
3) Rechne die gesuchte Strecke aus.

Beispiel:

Den 1. und 2. Strahlensatz anwenden


$$x$$ und $$y$$ sind gesucht.

$$x$$ berechnen:

1) Entscheide, ob du den 1. oder den 2. Strahlensatz verwendst.
Um $$x$$ zu berechnen, kannst du nur den 2. Strahlensatz anwenden.

2) Stelle die Verhältnisgleichung auf.
$$x/bar(AB)=bar(ZB’)/bar(ZB)$$

3) Rechne die gesuchte Strecke aus.
$$x/4=10/5$$ $$|*4$$   Achtung, hier wird die Gesamtstrecke eingesetzt!$$5+5=10$$

$$x=(10*4)/5=8$$ $$cm$$

$$y$$ berechnen:

1) Entscheide, ob du den 1. oder den 2. Strahlensatz verwendst.
Jetzt kannst du für die Berechnung von $$y$$ den 1. oder 2. Strahlensatz verwenden. Hier ist der 1. Strahlensatz benutzt.

2) Stelle die Verhältnisgleichung auf.
$$(y+bar(ZA))/bar(ZA)=bar(ZB’)/bar(ZB)$$   Achtung: Verwende die Gesamtstrecke!

3) Rechne die gesuchte Strecke aus.
$$(y+3)/3=10/5$$ $$|*3$$

$$y+3=(10*3)/5=6$$ $$|-3$$

$$y=3$$ $$cm$$

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So geht es mit dem erweiterten Strahlensatz

Du kannst auch mit dem erweiterten Strahlensatz $$y$$ ausrechnen.

Den 1. und 2. Strahlensatz anwenden


$$y/bar(BB’)=bar(ZA)/bar(ZB)$$

$$y/5=3/5$$ $$|*5$$

$$y=(3*5)/5$$ $$|$$ Kürzen

$$y=(3*1)/1=3$$

Strahlensatzfiguren und andere geometrische Figuren

Es kommt noch besser: Du kannst den Strahlensatz benutzen, um Strecken in Rechtecken auszurechnen. Bestimme zuerst, wo deine Strahlensatzfigur liegt.

Berechne hier die Strecke $$b’$$.

Den 1. und 2. Strahlensatz anwenden

$$(b’)/b=(a’)/a$$

$$(b’)/4=18/6$$ $$|*4$$

$$b’=(18*4)/6$$ $$|$$Kürzen

$$b’=(3*4)/1=12$$ $$cm$$




Die Diagonale im Rechteck könntest du nicht mit einem Strahlensatz ausrechnen, da eine Längenangabe fehlt. (Aber das ginge mit dem Satz des Pythagoras, falls du den schon kennst.)

Die doppelte Strahlensatzfigur

Bei manchen Aufgaben liegen mehrere Strahlensätze vor.

$$f$$ $$||$$ $$g$$ $$||$$ $$h$$ und $$bar(ZB’’)$$ $$||$$ $$bar(AD)$$

Den 1. und 2. Strahlensatz anwenden $$bar(ZA)=2,6$$ $$cm$$ $$bar(BB’)=1,6$$ $$cm$$
$$bar(A A’)=1,3$$ $$cm$$ $$bar(AB)=1,7$$ $$cm$$
$$bar(A’ A’’)=3,8$$ $$cm$$ $$bar(A’B’)=2,5$$ $$cm$$
$$bar(ZB)=3,2$$ $$cm$$ $$bar(CB’)=1,7$$ $$cm$$

Gesucht sind hier die Strecken $$bar(A’’D)$$ und $$bar(B’B’’)$$. Für die Strecke $$bar(A’’D)$$ verwendest du den 2. Strahlensatz.

Den 1. und 2. Strahlensatz anwenden $$bar(ZA)=2,6$$ $$cm$$ $$bar(BB’)=1,6$$ $$cm$$
$$bar(A A’)=1,3$$ $$cm$$ $$bar(AB)=1,7$$ $$cm$$
$$bar(A’ A’’)=3,8$$ $$cm$$ $$bar(A’B’)=2,5$$ $$cm$$
$$bar(ZB)=3,2$$ $$cm$$ $$bar(CB’)=1,7$$ $$cm$$


$$bar(A’’D)/bar(A’C)=bar(A A’’)/bar(A A’)$$

Nebenrechnung:

$$bar(A’C)=2,5-1,7=0,8$$

$$bar(A A’’)=1,3+3,8=5,1$$

$$bar(A’’D)/0,8=5,1/1,3$$ $$|*0,8$$

$$bar(A’’D)=3,1$$ $$cm$$


Für die Strecke $$bar(B’B’’)$$ verwendest du den 1. Strahlensatz.

$$bar(B’B’’)$$ kannst du nicht direkt berechnen.
Aber das geht mithilfe von $$bar(ZB’’)$$!

Den 1. und 2. Strahlensatz anwenden $$bar(ZA)=2,6$$ $$cm$$ $$bar(BB’)=1,6$$ $$cm$$
$$bar(A A’)=1,3$$ $$cm$$ $$bar(AB)=1,7$$ $$cm$$
$$bar(A’ A’’)=3,8$$ $$cm$$ $$bar(A’B’)=2,5$$ $$cm$$
$$bar(ZB)=3,2$$ $$cm$$ $$bar(CB’)=1,7$$ $$cm$$


Hieraus kannst du $$bar(B’B’’)$$ berechnen:

$$bar(ZB’’)/bar(ZB’)=bar(ZA’’)/bar(ZA’)$$

Nebenrechnung:

$$bar(ZA’’)=2,6+1,3+3,8=7,7$$

$$bar(Z A’)=2,6+1,3=3,9$$

$$bar(Z B’)=3,2+1,6=4,8$$

$$bar(ZB’’)/4,8=7,7/3,9$$ $$|*4,8$$

$$bar(ZB’’)=9,5$$

$$bar(B’B’’)=bar(ZB’’)-bar(ZB’)=9,5-4,8=4,7$$ $$cm$$


Bei diesen Aufgaben gibt es oft mehrere Wege, die zum Ergebnis führen. Dieses sind nur 2 Beispiele.

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