Anwendungsaufgaben mit Potenzen (ganzzahlige Exp.)

Kombiniere!

Wenn du Potenzausdrücke berechnen willst, musst du selbst erkennen, welches Gesetz du anwenden kannst. Oft sind es sogar gleich zwei oder drei und oft gibt es dann auch mehrere Lösungswege.

Beispiel:

Notiere das Ergebnis von $$(3,5*10^3)^2$$ gerundet in der Standardschreibweise.

Rechnung Erklärung
$$(3,5*10^3)^2=$$ Wende das 2. Potenzgesetz an.
$$3,5^2*(10^3)^2=$$ Wende das 3. Potenzgesetz für die Zehnerpotenz an.
$$12,25*10^6=$$ Schreibe 12,25 in der Standardschreibweise.
$$1,225*10^1*10^6=$$ Wende das 1. Potenzgesetz an und fasse so $$10^1$$ und $$10^6$$ zusammen.
$$1,225*10^7$$ Fertig!

Standardschreibweise
Zahl zwischen 1 und 10 mal Zehnerpotenz,
z. B. $$1,73*10^(-5)$$ ($$=0,0000173)$$

1. Potenzgesetz

$$a^m*a^n=a^(m+n)$$ und $$a^m:a^n=a^(m-n)$$

2. Potenzgesetz

$$a^m*b^m=(a*b)^m$$ und $$a^m:b^m=(a:b)^m$$

3. Potenzgesetz

$$(a^m)^n=a^(m*n)$$

Mit Variablen

Gerade, wenn in einer Aufgabe Zahlen und Variable gemischt vorkommen, musst du erst einmal sortieren.

Vereinfache so weit wie möglich, verwende im Ergebnis nur positive Exponenten.

$$(15x^2y^(-3))/(16a^(-2)b^(-2))*(8a^(-3)b^2)/(27x^3y^2)=$$

Wenn du sortierst, erkennst du, dass du hier nur das 1. Potenzgesetz benötigst:

$$(15*8*a^(-3)*b^2*x^2*y^(-3))/(16*27*a^(-2)*b^(-2)*x^3*y^2)=$$

Kürze die Zahlen und wende auf die Variablen das 1. Potenzgesetz an:

$$(5*1*a^(-3-(-2))*b^(2-(-2))*x^(2-3)*y^(-3-2))/(2*9)=$$

Fasse die Zahlen zu einem Bruch zusammen und berechne die Exponenten:

$$5/18a^(-1)b^4x^(-1)y^(-5)=$$

Schreibe wieder als Bruch:

$$(5b^4)/(18axy^5)$$

Und noch zwei Beispiele mit Variablen

Beispiel 1:

Vereinfache den Term $$(a/b)^(-3)/(a/b)^4$$.

Rechnung Erklärung
$$(a/b)^(-3)/(a/b)^4=$$ Wende zuerst das 1. Potenzgesetz an.
$$a/b$$ ist die gemeinsame Basis.
$$(a/b)^(-3-4)=(a/b)^(-7)=$$ Wende nun das 2. Potenzgesetz an.
$$a^(-7)/b^(-7)=b^7/a^7$$ Fertig!



Beispiel 2:

Vereinfache den Term $$(x^(-3)/y^2)^(-2)$$.

Rechnung Erklärung
$$(x^(-3)/y^2)^(-2)=$$ Wende zuerst das 2. Potenzgesetz an.
$$((x^(-3))^(-2))/(y^2)^(-2)=$$ Wende nun das 3. Potenzgesetz an.
$$x^6/y^(-4)=x^6*y^4$$ Fertig!
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Ein Tröpfchen Medizin

So, jetzt endlich ein Beispiel aus dem „echten Leben“:

Aufgabe

Ein Tröpfchen aus einem Medizinfläschchen hat ein Volumen von $$1/20 ml$$.

Der Durchmesser eines Wassermoleküls beträgt ca. $$0,3$$ $$nm$$. Nimm an, die Teilchen sind geschichtet wie Kugeln.

a) Wie viele Wasserteilchen befinden sich ungefähr in einem Tropfen Wasser aus einem Medizinfläschchen? Und wie lang wäre die Kette, wenn man all die Teilchen hintereinander anordnen würde?

Anwendungsaufgaben mit Potenzen (ganzzahlige Exp.)

b) Vergleiche mit der Entfernung der Erde zur Sonne ($$ \approx 150$$ $$000$$ $$000$$ $$km$$).


Lösung:

a) In Mathe überlegst du dir bei Anwendungsaufgaben oft, welches mathematische Modell du für einen Gegenstand oder eine Situation nimmst. Für die kleinen Wasserteilchen liegt erst mal das Modell „Kugel“ auf der Hand, aber der Einfachheit halber kannst du sie mit dem Modell „Würfel“ annähern. Dann ist das Rechnen einfacher: erstens die Formel und zweitens brauchst du den leeren Raum zwischen den Kugeln nicht zu berücksichtigen. (Wenn du ein Freak bist, nimm dir Zettel und Stift und versuche dich am Modell „Kugel“.:-))

Also: Das Volumen eines Teilchens berechnest du wie beim Würfel. Den Durchmesser $$0,3$$ $$nm$$ nimmst du als Kantenlänge $$a$$.

$$V=a^3=(0,3 \ nm)^3=(0,3*10^(-9) \ m)^3=(3*10^(-10) \ m)^3$$
$$=3^3*(10^(-10)m)^3=27*10^(-30) \ m^3$$

Die Anzahl der Teilchen in $$1/20$$ $$ml$$ erhältst du, wenn du $$1/20ml$$ in $$m^3$$ umrechnest und dann dieses Volumen durch das Volumen eines Teilchens dividierst:

$$1/20ml=1/20 cm^3=1/20*(0,01 \ m)^3=1/20*0,000001 \ m^3$$
$$=0,05*0,000001 \ m^3=0,00000005 \ m^3=5*10^(-8) \ m^3$$

Für die Anzahl der Teilchen erhältst du so:

$$(5*10^(-8) \ m^3)/(27*10^(-30) \ m^3)=5/27*10^(-8)/10^(-30)=5/27*10^22=0,185…*10^22$$

$$\approx 2*10^21 $$

Die Rechnung mit dem Würfel ist ja stark vereinfacht. So kannst du hier großzügig runden.

Jetzt nimmst du nur noch die Anzahl der Teilchen mit ihrem Durchmesser mal:

$$2*10^21*0,3*10^(-9) \ m=0,6*10^12 \ m=6*10^(-1)*10^12 \ m$$$$=6*10^11 \ m$$
$$=6*10^8 \ km$$

Die Kette wäre also 600 000 000 km lang.


b) Wenn du die Entfernung zur Sonne als Vielfaches von $$10^8$$ schreibst, kannst du vergleichen:

$$150000000=150*10^6=1,5*10^8$$, also

$$(6*10^8 \ km)/(1,5*10^8 \ km)=6/1,5 =4$$

Die Moleküle aneinandergereiht würden also eine Kette ergeben, die ca. viermal so lang wäre wie die Entfernung der Erde zur Sonne.



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