Vermischte Aufgaben Brüche (Vorrangregeln)

Alles in einer Aufgabe

Und dann sind da noch die Aufgaben, in denen mehrere Rechenarten drin vorkommen… Das Gute ist: Die Regeln wie Punkt- vor Strichrechnung kennst du schon von den natürlichen Zahlen.

Bevor du loslegst, sollst du fit mit den einzelnen Rechenarten sein:

Rechenart Rechenregel Ergebnis Kürzen??
Addition
$$+$$
Hauptnenner bilden und die Zähler addieren Summe erst rechnen, dann Kürzen
Subtraktion
$$-$$
Hauptnenner bilden und den zweiten vom ersten Zähler abziehen Differenz erst rechnen, dann kürzen
Multiplikation
$$*$$
Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner Produkt Zuerst kürzen vereinfacht die Rechnung.
Division
$$:$$
Erster Bruch mal Kehrwert des zweiten Bruchs Quotient erst Kehrwert, dann kürzen, dann rechnen


Hauptnenner finden/gleichnamig machen: Du erweiterst oder kürzt beide Brüche so, dass sie den gleichen Nenner (Hauptnenner) haben.

Noch mehr Regeln

Diese Vorrangregeln kennst du schon:

  1. Klammern zuerst. Bei mehreren Klammern rechnest du von innen nach außen.
  2. Punkt- vor Strichrechnung.
  3. Rechne von links nach rechts.


Beispiel: Klammern

$$[1/4*(4/5+3/4)]+2/10$$

$$=[1/4*(16/20+15/20)]+2/10$$

$$=[1/4*31/20]+2/10$$

$$=31/80+16/80$$

$$=47/80$$


Beispiel: Punkt- vor Strichrechnung

$$3/2*6/4+3/5:4/10$$

$$=(3*6)/(2*4)+(3*10)/(5*4)$$

$$=9/4+3/2$$

$$=9/4+6/4$$

$$=15/4=3 3/4$$




„Was noch nicht zum Rechnen dran, schreibst du unverändert an“: Du vermeidest Fehler, wenn du schrittweise alle Regeln befolgst und alle Werte, mit denen du in einem Schritt nicht rechnest, unverändert aufschreibst.

Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Auch bei Brüchen multiplizierst du jeden Wert in einer Klammer mit dem Faktor vor der Klammer:

$$3/2$$$$*(5/6-1/3)=3/2*5/6-3/2*1/3=5/4-1/2=5/4-2/4=3/4$$

Oder du rechnest erst die Klammer aus:

$$3/2*(5/6-1/3)=3/2*(5/6-2/6)=3/2*3/6=3/2*1/2=3/4$$

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Erstes Beispiel

Nach so vielen Regeln und Wiederholung wird es Zeit, dass es endlich losgeht!


$$3/4+3*(1/4+1/2)$$

1. Schritt: Berechne die Klammern zuerst. Alles andere schreibst du unverändert mit.

$$3/4+3*$$ $$(1/4+2/4)$$$$=$$ $$3/4+3*$$ $$3/4$$$$=$$


2. Schritt: "Punkt- vor Strichrechnung. Alles andere schreibst du unverändert mit.

$$3/4+$$ $$3*3/4$$$$=$$ $$3/4+$$ $$(3*3)/4$$$$=$$ $$3/4+$$ $$9/4$$$$=$$


3. Schritt: Rechne von links nach rechts und vereinfache so weit wie möglich:

$$3/4+9/4=12/4=3$$

Gleich noch ein Beispiel

$$(3/5-4/10):(4/30+2/15)=$$

1. Schritt: Klammern zuerst.
$$(6/10-4/10)$$ $$:$$$$(2/15+2/15)$$ $$=$$ $$2/10$$$$:$$ $$4/15$$$$=2/10*15/4=$$


2. Schritt: Kürze geschickt.

$$1/5$$$$*15/4=$$$$1/1*3/4=3/4$$

Terme in Worten

Mithilfe der richtigen Vokabeln kannst du die folgenden Terme als Aufgabe formulieren.

Beispiel 1:

$$3/4$$ $$+$$ $$3*$$ $$(1/4+2/4)$$$$=$$

Addiere zu $$3/4$$ das Dreifache von der Summe aus $$1/4$$ und $$2/4$$. Natürlich kannst du das auch ausrechnen: $$=3/4+3*3/4=3/4+9/4=12/4=3$$


Beispiel 2:

$$(3/5-4/10)$$ $$:$$ $$(4/30+2/15)$$
Dividiere die Differenz aus $$3/5$$ und $$4/10$$durch die Summe aus $$4/30$$ und $$2/15$$ .

$$=(6/10-4/10):(4/30+4/30)$$

$$=2/10:8/30$$

$$=1/5*30/8$$

$$=30/40$$

$$=3/4$$

Mathe-Vokabeln:
$$+$$ $$rarr$$ Summe
$$-$$ $$rarr$$ Differenz
$$*$$ $$rarr$$ Produkt
$$:$$ $$rarr$$ Quotient


Beginne den Aufgabentext immer mit der Rechnung, die du zuletzt rechnest.

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Der Term zum Text

Kannst du es auch andersherum?
Subtrahiere vom Quotienten aus $$3/4$$ und $$4/5$$ die Summe aus $$1/4$$ und $$1/2$$ .

Übersetze in eine Rechnung.

$$(3/4:4/5)$$$$-$$ $$(1/4+1/2)$$ $$=$$

Da hier „Punkt- vor Strichrechnung“ gilt, kannst du die erste Klammer sogar weglassen:

$$3/4:4/5-(1/4+1/2)$$

$$=3/4*5/4-(1/4+2/4)$$

$$=15/16-3/4$$

$$=15/16-12/16$$

$$=3/16$$



Achte beim Subtrahieren und Dividieren immer auf die Reihenfolge.

Besonderheiten von Bruchtermen

Steht im Zähler oder Nenner eines Bruches eine Summe oder Differenz, berechnest du sie zuerst, auch wenn keine Klammer steht.

Beispiel 1:

$$(100+50)/25=150/25=6/1=6$$

Beispiel 2:

$$6/(8-4)=6/4=3/2$$



„In Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen!“
- Du machst weniger Fehler, wenn du bei der Strichrechnung erst rechnest und dann kürzt!

Doppelbrüche

Bei Doppelbrüchen hilft es dir, die Zähler und Nenner in Klammern zu setzen und den Bruch als Divisionsaufgabe umzuschreiben. So kannst du jeden Doppelbruch leicht ausrechnen:

$$(2/5+1/8)/(9/10-3/20)$$

$$=(2/5+1/8):(9/10-3/20)$$

$$=(16/40+5/40):(18/20-3/20)$$

$$=21/40:15/20$$

$$=21/40*4/3$$

$$=21/30$$

$$=7/10$$

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