Mit binomischen Formeln faktorisieren

Faktorisieren mithilfe der drei binomischen Formeln

Wenn du die binomischen Formeln „rückwärts“ anwendest, kannst du aus einer Plus- eine Malaufgabe machen. Das ist manchmal hilfreich zum Weiterrechnen.

Mathematisch heißt das Faktorisieren: aus einer Summe ein Produkt machen.

Beispiele
$$9a^2+6ab+b^2=(3a+b)^2$$

$$16x^2-4y^2=(4x+2y)(4x-2y)$$

Die 3 binomischen Formeln:
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Faktorisieren mithilfe der 1. oder 2. binomischen Formel.

Damit du die 1. oder 2. binomische Formel „rückwärts“ anwenden kannst, muss ein Term 3 Voraussetzungen erfüllen. Prüfe das in 3 Schritten.

1. Schritt
Hat der Term zwei quadratische Summanden ($$a^2$$ und $$b^2$$)? Was folgt daraus für $$a$$ und $$b$$?

2. Schritt
Hat der Term einen Summanden, der sich wie $$2ab$$ in den binomischen Formeln zusammensetzt?

3. Schritt
Kannst du die beiden ersten Schritte mit ja beantworten, entscheide gemäß der Rechenzeichen, ob du die 1. oder 2. binomische Formel anwenden darfst. Schreibe die entsprechende Klammer „hoch 2“.

Weiter geht’s mit einem Beispiel.

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$


Der mittlere Summand der beiden ersten binomischen Formeln setzt sich zusammen aus
$$2ab=2*sqrt(a^2)*sqrt(b^2)$$

Ein Beispiel

Schreibe den Term $$16+24y+9y^2$$ als Produkt.

1. Schritt:
Gibt es die Quadrate $$a^2$$ und $$b^2$$ ? Wie sehen $$a$$ und $$b$$ aus?
$$a^2stackrel(^)=16rArr a stackrel(^)=sqrt(16)=4$$
$$b^2stackrel(^)=9y^2rArr bstackrel(^)=sqrt(9y^2)=3y$$
Das passt, also weiter zum …

2. Schritt:
Jetzt kennst du $$a$$ und $$b$$ und kannst dir überlegen wie der mittlere Summand $$2ab$$ aussehen müsste und ob er mit dem Term übereinstimmt:
$$2ab stackrel(^)=2*4*3y=24y$$

Das stimmt mit dem Term überein, also weiter zum…

3. Schritt:
Im Term steht zwei mal $$+$$, also arbeitest du mit der 1. binomischen Formel. Da alle Voraussetzungen erfüllt sind, schreibst du:
$$16+24y+9y^2=(4+3y)^2$$

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

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Ein schwierigeres Beispiel

Schreibe den Term $$25p^2-40pq+16q^2$$ als Produkt.

1. Schritt:
Gibt es die Quadrate $$a^2$$ und $$b^2$$ ? Wie sehen $$a$$ und $$b$$ aus?
$$a^2stackrel(^)=25p^2rArr a stackrel(^)=sqrt(25p^2)=5p$$
$$b^2stackrel(^)=16q^2rArr bstackrel(^)=sqrt(16q^2)=4q$$
Passt, also weiter zum …

2. Schritt:
Jetzt kennst du $$a$$ und $$b$$ und kannst dir überlegen, wie der mittlere Summand $$2ab$$ aussehen müsste und ob er mit dem Term übereinstimmt:
$$2ab stackrel(^)=2*5p*4q=2*5*4*pq=40pq$$

Das stimmt mit dem Term überein, also weiter zum…

3. Schritt:
Im Term steht erst $$-$$ und dann $$+$$, also arbeitest du mit der 2. binomischen Formel. Da alle Voraussetzungen erfüllt sind, schreibst du:
$$25p^2-40pq+16q^2=(5p-4q)^2$$

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Ein Gegenbeispiel

Schreibe den Term $$4r^2+6rs+9s^2$$ als Produkt.

1. Schritt:
Gibt es die Quadrate $$a^2$$ und $$b^2$$ ? Wie sehen $$a$$ und $$b$$ aus?
$$a^2stackrel(^)=4r^2rArr a stackrel(^)=sqrt(4r^2)=2r$$
$$b^2stackrel(^)=9s^2rArr bstackrel(^)=sqrt(9s^2)=3s$$

Das passt, also weiter zum …

2. Schritt:
Jetzt kennst du $$a$$ und $$b$$ und kannst dir überlegen wie der mittlere Summand $$2ab$$ aussehen müsste und ob er mit dem Term übereinstimmt:
$$2ab stackrel(^)=2*2r*3s=12rs!=6rs$$

Der mittlere Summand stimmt nicht mit dem Term überein, also lässt sich dieser Term nicht direkt mithilfe der binomischen Formeln faktorisieren.

Faktorisieren mithilfe der 3. binomischen Formel

Damit du die 3. binomische Formel „rückwärts“ anwenden kannst, muss ein Term 2 Voraussetzungen erfüllen. Prüfe das in 2 Schritten.

Schreibe $$49-81x^2$$ als Produkt.

1. Schritt
Wieder brauchst im Term zwei quadratische Summanden ($$a^2$$ und $$b^2$$)? Was folgt daraus für $$a$$ und $$b$$?

$$a^2 stackrel(^)=49 rArr a stackrel(^)=sqrt(49)=7$$
$$b^2 stackrel(^)=81x^2 rArr b stackrel(^)=sqrt(81x^2)=9x$$

2. Schritt
Kontrolliere, ob es sich bei dem Term um eine Differenz (Minus-Aufgabe) handelt. Wenn ja, schreibe das Produkt $$(a+b)(a-b)$$


Also: $$49-81x^2=(7+9x)(7-9x)$$

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Weitere Beispiele

Mit etwas Übung, kannst du die einzelnen Schritte im Kopf machen und direkt das Ergebnis aufschreiben:

$$a^2-10a+25=(a-5)^2$$
$$9+6b+b^2=(3+b)^2$$
$$v^2-64=(v+8)(v-8)$$

Noch ein Gegenbeispiel:

$$36u^2-12u+v^2$$

Der mittlere Summand müsste $$2*6u*v=12uv$$ heißen, damit du die 2. binomische Formel direkt anwenden könntest.

Noch ein Trick

Nicht in jedem Quadrat findest du eine Quadratzahl oder ein „hoch 2“. Dennoch kannst du solche Terme faktorisieren.

$$5x^2+4sqrt(5)*x+4$$

1. Schritt:
$$a^2stackrel(^)=5x^2 rArr a=sqrt(5x^2)=sqrt(5)*x$$
$$b^2stackrel(^)=4 rArr b=sqrt(4)=2$$

2. Schritt
$$2ab stackrel(^)=2*sqrt(5)*x*2=4sqrt(5)*x $$

3. Schritt:
$$5x^2+4sqrt(5)*x+4=(sqrt(5)x+2)^2$$


Ein weiteres Beispiel

$$16a-12b^2$$

$$a^2stackrel(^)=16a rArr a=sqrt(16a)=4sqrt(a)$$
$$b^2stackrel(^)=12b^2 rArr b=sqrt(12b^2)=sqrt(12)*b$$

$$16a-12b^2=(4sqrt(a)+sqrt(12)b)(4sqrt(a)-sqrt(12)b)$$

Durch Faktorisieren Brüche kürzen

Da aus „Summen nur die Dummen“ kürzen, kannst du mithilfe des Faktorisierens den ein oder anderen Bruch überlisten.

$$(c^2-6c+9)/(c^2-9)$$

Mithilfe der binomischen Formeln kannst du aus Zähler und Nenner ein Produkt machen.

$$((c-3)^2)/((c+3)(c-3))=((c-3)*(c-3))/((c+3)*(c-3))$$

Und schon hast du ein Produkt und kannst jetzt durch $$(c-3)$$ kürzen:

$$((c-3)^2)/((c+3)(c-3))=(c-3)/(c+3)$$

Hier ist im Zähler
$$a^2stackrel(^)=c^2 rArr a stackrel(^)=c$$
$$b^2stackrel(^)=9 rArr b stackrel(^)=3$$
$$2ab stackrel(^)=2*c*3=6c$$
Mit der 2. binomische Formel erhältst du
$$c^2-6c+9=(c-3)^2$$
Im Nenner erhältst du mit der 3. binomischen Formel
$$c^2-9=(c+3)(c-3)$$

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