Lineare Gleichungen lösen 2

Das Waage-Modell

Das Waage-Modell kannst du für das Lösen von Gleichungen durch Umformen benutzen. Es funktioniert auch, wenn $$x$$ auf beiden Seiten der Gleichung auftaucht.

Du hast Kugeln, die alle 1 kg wiegen. Außerdem hast du gleichschwere $$x$$-Boxen. Von ihnen kennst du das Gewicht noch nicht.

Du verteilst Boxen und Kugeln entsprechend einer Gleichung auf zwei Waagschalen.
Die Waage soll immer im Gleichgewicht bleiben.

Ziel: Wie schwer ist eine $$x$$-Box?

Beispiel: $$6*x+3=2*x+11$$

Lineare Gleichungen lösen 2

links: 6 $$x$$-Boxen, 3 Kugeln
rechts: 2 $$x$$-Boxen, 11 Kugeln

Bisher: $$x$$ auf einer Seite

$$2x+3=5$$

Jetzt: $$x$$ auf beiden Seiten

$$7x+5=2x-4$$

Lineare Gleichungen lösen 2

$$x$$-Boxen sind alle gleich schwer

Lineare Gleichungen lösen 2

1 - kg - Kugeln

Jetzt wird umgeformt

$$6*x+3=2*x+11$$ Lineare Gleichungen lösen 2


$$6*x+3=2*x+11$$   $$|-2*x$$

Du nimmst aus beiden Waagschalen zwei $$x$$-Boxen weg. Die Waage hängt weiter im Gleichgewicht.

Lineare Gleichungen lösen 2

Ab jetzt verfährst du, wie bekannt und entfernst drei Kugeln auf jeder Seite.

$$4*x+3=11$$   $$|-3$$

Lineare Gleichungen lösen 2

Du bildest auf jeder Seite den vierten Teil, rechnest also : 4.

$$4*x=8$$   $$|$$ $$:$$$$4$$

Lineare Gleichungen lösen 2

Eine $$x$$-Box wiegt 2 kg.

$$x=2$$

$$L={2}$$

Die Probe im Waage-Modell machen

Zum Schluss machst du immer die Probe, ob dein Ergebnis stimmt.


$$6*x+3=2*x+11$$

Lineare Gleichungen lösen 2

$$6*2+3=2*2+11$$

Wenn du für jede $$x$$-Box drei Kugeln auf die Waage legst, sind auf jeder Seite der Waage $$15$$ Kugeln.

Lineare Gleichungen lösen 2


$$15=15$$

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Ohne Waage-Modell Gleichungen lösen

So löst du Gleichungen mit $$x$$ auf beiden Seiten rechnerisch:

$$6*x+3=2*x+11$$   $$|-2*x$$

$$6*x-2*x+3=2*x-2*x+11$$

$$4*x+3=11$$   $$|-3$$

$$4*x+3-3=11-3$$

$$4*x=8$$   $$|:4$$

$$4*x:4=8:4$$

$$x=2$$

$$L={2}$$

Probe:

Überall dort, wo $$x$$ steht, setzt du die Lösung $$2$$ ein.

$$6$$ $$*$$ $$x$$ $$+3=2$$ $$*$$ $$x$$ $$+$$ $$11$$

$$6$$ $$*$$ $$2$$ $$+3=2$$ $$*$$ $$2$$ $$+$$ $$11$$

$$12+3=4+11$$

$$15=15$$   Ja, $$2$$ löst die Gleichung.

Der Strich $$|$$ ist die Regieanweisung: „Tu auf beiden Seiten dasselbe!“.


Die blauen Zwischenschritte kannst du später weglassen.

Schwierigere Gleichungen

Bei langen Gleichungen ist es leichter, wenn du zuerst gleiches zusammenfasst.

Beispiel:

$$4x+6+7x+1=16x+3-9*x$$   $$|$$ zusammenfassen

$$11x+7=7x+3$$   $$|-7*x$$

$$4x+7=3$$   $$|-7$$

$$4x=-4$$   $$|$$ $$:$$$$4$$

$$x=-1$$

$$L={-1}$$

Probe:

Überall dort, wo $$x$$ steht, setzt du die Lösung $$(-1)$$ ein.

$$4$$ $$*$$ $$x$$ $$+$$ $$6$$ $$+$$ $$7$$ $$*$$ $$x$$ $$+$$ $$1=16$$ $$*$$ $$x$$ $$+$$ $$3$$ $$-$$ $$9$$ $$*$$ $$x$$

$$4$$ $$*$$ $$(-1)$$ $$+$$ $$6$$ $$+$$ $$7$$ $$*$$ $$(-1)$$ $$+$$ $$1=16$$ $$*$$ $$(-1)$$ $$+$$ $$3$$ $$-$$ $$9$$ $$*$$ $$(-1)$$

$$-4+6-7+1=-16+3+9$$

$$-11+7=-16+12$$

$$-4=-4$$   Ja, $$(-1)$$ passt.



Den Malpunkt $$*$$ zwischen Zahl und Variable kannst du weglassen.







Rechenregeln für die Multiplikation mit negativen Zahlen

$$-*- =+$$

$$-*+ =-$$

Was machst du, wenn die Gleichung eine Klammer hat?

Löse immer zuerst die Klammer auf.

Beispiel 1:

$$2*(-5+x)=2$$   $$|$$ Klammer auflösen

$$-10+2x=2$$   $$|+10$$

$$2x=12$$  $$|:2$$

$$x=6$$

$$L={6}$$

Probe:

Setze für $$x$$ die Lösung 6 ein.

$$2*(-5$$ $$+$$ $$6$$ $$)=2$$

$$2=2$$

Beispiel 2:

$$-3*(x-6)+6x=-3+6x$$   $$|$$ Klammer auflösen

$$-3x+18+6x=-3+6x$$   $$|$$ zusammenfassen

$$3x+18=-3+6x$$   $$|-6x$$

$$-3x+18=-3$$   $$|-18$$

$$-3x=-21$$   $$|:(-3)$$

$$x=7$$

$$L={7}$$

Probe:

Setze für $$x$$ die Lösung $$7$$ ein.

$$-3$$ $$*$$ $$($$$$7$$ $$-$$ $$6)$$ $$+$$ $$6$$ $$*$$ $$7$$ $$=-3$$ $$+$$ $$6$$ $$*$$ $$7$$

$$-3*1+42=-3+42$$

$$39=39$$


















Um die Gleichung zu vereinfachen, kannst du auch als erstes die Äquivalenzumformung $$|$$ $$-6*x$$ rechnen.

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