Anwendungsaufgaben mit Potenzen (gebrochene Exp.)

Anwendungen mit Potenzen

Potenzen wie $$10^3$$, $$a^4$$ oder $$5^(-1)$$ haben für dich nicht viel mit dem „echten Leben“ zu tun?

Vielleicht überzeugen dich die folgenden Seiten ja vom Gegenteil.:-)

Anwendungsaufgaben mit Potenzen (gebrochene Exp.)
Bild: Renate Jung

4 GB = 4000 MB = 4.000.000 KB

Große Zahlen mit Zehnerpotenzen

Der Schuldenberg Deutschlands war 2014 ca. 2 Billionen Euro groß. Eine 2 mit ziemlich viele Nullen… Um die aufzuschreiben, brauchst du Zehnerpotenzen.

Zehnerpotenzen

$$1$$$$0$$ $$=10$$$$1$$

$$1$$$$00$$ $$=10$$$$2$$

$$1$$$$000$$ $$=10$$$$3$$            $$1$$ Tausend

$$1$$$$000000$$ $$= 10$$$$6$$            $$1$$ Million

$$1$$$$000000000$$ $$= 10$$$$9$$            $$1$$ Milliarde

$$1$$$$000000000000$$ $$= 10$$$$12$$            $$1$$ Billion

Bei zu vielen Nullen helfen…

Abgetrennte Zehnerpotenzen


abgetrennte Zehnerpotenz

$$uarr$$

$$3,4 * 10^7$$

$$darr$$

Zahl zwischen $$1$$ und $$10$$

Also 2 Billionen als Zehnerpotenz ist $$2*10^12$$

Noch ein Beispiel: $$4.512.000 =4,512*10^6$$

Die wissenschaftliche Anzeige besteht aus einer Zahl mit einer Stelle vor dem Komma und einer Angabe des Exponenten.
Mathematisch: $$a*10^n$$mit $$1≤a<10$$ und $$n in NN$$.

Potenz:  $$a^n=a*a*…*a$$
für reellen Zahlen $$a$$ und $$n$$ Faktoren.

Häufig verwendete Vorsilben und Abkürzungen bei Größen und Maßeinheiten:
Deka (da):   $$10^1$$   (Zehn)
Hekto (h):    $$10^2$$  (Hundert)
Kilo (k):     $$10^3$$   (Tausend)
Mega (M):   $$10^6$$   (Million)
Giga (G):    $$10^9 $$   (Milliarden)
Tera (p):     $$10^12$$   (Billion)

Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen

Weißt du wie groß Viren sind? Die Größe ist abhängig von der Virenart zwischen 10 und 1000 Nanometer. Wie viele Nullen hat 1 Nanometer nach dem Komma?

Abgetrennte Zehnerpotenzen

…gibt’s zum Glück auch bei sehr kleinen Zahlen.

$$0,1=1/10^1=10^(-1)$$
$$0,01=1/10^2=10^(-2)$$
$$0,001=1/10^3=10^(-3)$$
$$0,000001=1/10^6=10^(-6)$$
$$0,000000001=1/10^9=10^(-9)$$


1 Nanometer ($$nm)$$ bedeutet 1 Milliardstel von 1 Meter ($$m$$). Die Zahl hat 9 Stellen nach dem Komma.
$$1   nm=1/(1 000 000 000)m=0,000000001   m=10^-9   m$$

Weitere Beispiele:

$$0,034=3,4*1/100=3,4*10^-2$$

$$6,741*10^-6=0,000006741$$

$$0,00008541   m = 85,41*10^-6   m=85,41   mu m   (Mikrometer)$$

Wissenschaftliche Zehnerpotenzschreibweise:
$$a*10^-n=a*1/10^n$$ mit $$ 1le a<10$$ und $$n in NN$$.

Potenzen mit negativen Exponenten


Häufig verwendete Vorsilben und Abkürzungen bei Maßeinheiten:
Zenti (c):   $$10^-1$$   (Zehntel)
Dezi (d):    $$10^-2$$  (Hundertstel)
Milli (m):   $$10^-3$$   (Tausendstel)
Mikro ($$µ$$):  $$10^-6$$   (Millionstel)
Nano (n):   $$10^-9 $$   (Milliardstel)
Piko (p):     $$10^-12$$   (Billionstel)

Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.de kann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager

Potenzgleichungen in der Geometrie

Erst spannend wird es ja, wenn du mit Potenzen rechnest, zum Beispiel in Gleichungen.

Wie kannst du die Kantenlänge a eines Würfels berechnen, wenn seine Oberfläche oder sein Volumen bekannt ist?

Anwendungsaufgaben mit Potenzen (gebrochene Exp.)

1. Beispiel
Gegeben:   $$V=125cm^3$$
gesucht: $$a$$   (Kantenlänge)

Potenzgleichung: $$125=a^3$$

Lösung: $$a=root 3 (125   cm^3)=root 3 (125)*root 3 (cm^3)=5   cm$$

Der Würfel hat die Kantenlänge $$a =5$$ $$cm$$.

2. Beispiel
Gegeben:   $$O=150   cm^2$$
gesucht: $$a$$   (Kantenlänge)

Potenzgleichung:   $$150   cm^2=6*a^2$$

Lösung:
$$150   cm^2=6*a^2$$  $$|$$ $$:$$$$6$$

$$25   cm^2=a^2$$

$$a_1=root 2 (25cm^2)=5   cm$$ und $$a_2=-root 2 (25   cm^2)=-5   cm$$

Die zweite Lösung entfällt, da die Kantenlänge eines Würfels immer positiv ist.

Antwort: Der Würfel hat eine Kantenlänge $$a = 5$$ $$cm$$.

Volumen des Würfels: $$V=a^3$$

Oberfläche des Würfels: $$O=6*a^2$$

Kombinatorik und Potenzen

Erinnerst du dich noch die Experimente mit dem Ziehen aus einer Urne? Auch dabei gibt es Potenzgleichungen.

Kugeln in einer Urne

In einer Urne liegt eine unbekannte Anzahl Kugeln mit Ziffern von $$1$$ bis $$n$$.

Anwendungsaufgaben mit Potenzen (gebrochene Exp.)


Du ziehst eine Kugel, schreibst die Ziffer auf und legst die Kugel wieder zurück. Wenn du 5-mal ziehst und die 5 Ziffern aneinander schreibst, sind 1024 unterschiedliche Kombinationen möglich. Wie viele Kugeln liegen in der Urne?

$$n$$   Anzahl der Kugeln
Potenzgleichung: $$1024= n^5$$

Lösung: $$n=root 5 (1024)=4$$

In der Urne liegen $$4$$ Kugeln.

Sparen und Zinsen

Der Klassiker: Du legst 100 € als Sparguthaben bei einer Bank für 5 Jahre an. Die Bank gibt dir dafür pro Jahr 2,5% Zinsen. Die Zinsen werden jedes Jahr mit verzinst. Wie viel Geld hast du nach 5 Jahren auf dem Sparbuch? Dazu brauchst du Potenzen.

Anfangsguthaben $$K=100€$$
Zinssatz: $$p=2,5%$$

Bestimme aus dem Zinssatz den Zinsfaktor, der ist 1,025.

Los geht’s mit dem Rechnen:

Nach einem Jahr: $$100€ cdot 1,025=102,50 €$$
Nach 2 Jahren: $$102,50 € cdot 1,025=105,60 €$$

Jahr 0 1 2
Kapital in € 100 102,50 105,06


Du erinnerst dich vielleicht, dass das auch kürzer geht. Nämlich mit Potenzen:
$$100€ cdot 1,025 cdot 1,025 =105,06 €$$
Oder: $$100€ cdot 1,025^2=105,06 €$$

So wird die Rechnung einfach:

Nach einem Jahr: $$ 100 € cdot 1,025 =102,50€$$
Nach 2 Jahren: $$100 € cdot 1,025^2=105,06 €$$
Nach 3 Jahren: $$100 € cdot 1,025^3=107,69€$$
Nach 5 Jahren: $$100 € cdot 1,025^5=113,14 €$$


Nach 5 Jahren Sparen hast du 113,14 € auf dem Sparbuch.


Das Kapitel mit Zinseszinsen nach $$n$$ Jahren mit Zinssatz p und Startkapitel $$K$$ berechnest du so: $$K_n=K cdot q^n$$
($$q$$ ist der Zinsfaktor $$q=1+p/100$$.)
Das Kapitel mit ZInseszinsen wächst also auch exponentiell. Die Veränderliche (hier n) steht im Exponenten.

Zinsen=Kapital $$*$$ Zinsatz
$$Z = K * p/100$$

$$Z=100€*2,5/100=2,50€$$

Der Faktor $$q=1+p/100$$ heißt Zinsfaktor.
$$q=1,025$$

Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.de kann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager

Speichergröße und Datenübertragung

Hast du einen USB-Stick? Ein Smartphone? Dann begegnen dir Einheiten wie 100 MB Datenvolumen oder 4 GB Speicherplatz. Hier kommt eine Übersicht über die Bits und Bytes.:-)

Anwendungsaufgaben mit Potenzen (gebrochene Exp.)
Bild: Renate Jung

Bit und Byte im Alltag

Speicherkapazität und die Größe von Datenmengen werden in Byte gemessen. Die kleinste Speichereinheit ist 1 Bit. Ein Bit kann 2 Zustände annehmen, 0 oder 1. 8 Bit ergeben 1 Byte:  8 Bit = 1 Byte

So basieren die Einheiten für die Speicherkapazität eigentlich auf 2er-Potenzen wie 28 oder 210.
Aber trotzdem hat sich das Zehnersystem mit den Vorsilben „Kilo“ und „Mega“ durchgesetzt und die Umrechnungszahlen sind:

1 Kilobyte: 1 KB = 1000 Byte

1 Megabyte: 1 MB = 1000 KB

1 Gigabyte: 1 GB = 106 KB

1 Terabyte: 1 TB = 109 KB

Bit und Byte bei Informatikern

Exakt sind die Einheiten so:

1 Kibibyte (KiB): 1 KiB = 210 Byte = 1024 Byte

1 Mebibyte (MiB): 1 MiB = 220 Byte

1 Gibibyte (GiB): 1 GiB = 230 Byte

1 Tebibyte (TiB): 1 TiB = 240 Byte



Noch nicht kapiert?

Screenshot kapiert.de Mathe Aufgaben EdM

Das Thema macht dir noch Schwierigkeiten?
Teste das Lernportal von kapiert.de!

  • alle Themen aus deinem Schulbuch
  • interaktive Übungen und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Video-Chat mit Tutoren in allen Fächern

Die Testlizenz endet nach 14 Tagen automatisch. Es entstehen keine Kosten.

Ich habe die AGB und Datenschutzhinweise gelesen und stimme ihnen zu.