Wachstum rekursiv beschreiben

Rekursive und direkte Berechnung von Guthaben

Um exponentielle Prozesse zu berechnen, gibt es 2 Möglichkeiten:

  1. rekursiv, indem du schrittweise das $$n$$-te Glied mit dem Wachstumsfaktor multiplizierst, um auf das nächste zu kommen: $$a_(n+1)=a_n * q$$.

  2. explizit oder direkt durch eine Formel: $$a_n=…$$

Rekursiv (lat.): zurückgehend auf Bekanntes

Rekursive Berechnung

Frau Müller möchte Geld sparen. Dazu zahlt sie 3000 € auf ein Sparkonto ein. Die Bank verzinst das Guthaben mit 3,5 % jährlich. Die Zinsen werden dem Guthaben zugeschlagen und dann mitverzinst. Wie viel Geld ist nach 5 Jahren auf dem Konto?

Variante A:

Der Zinssatz ist 3,5 %, also ist der Zinsfaktor (oder Wachstumsfaktor) 1,035.

Guthaben nach $$0$$ Jahren $$a_0$$: $$ 12000$$ $$€$$
Guthaben nach $$1$$ Jahr $$a_1$$: $$12000$$ $$€ cdot 1,035=12420$$ $$€$$
Guthaben nach $$2$$ Jahren $$a_2$$: $$12420$$ $$€ cdot 1,035=12854,70$$ $$€$$
Guthaben nach $$3$$ Jahren $$a_3$$: $$12854,70$$ $$€ cdot 1,035=13304,61$$ $$€$$
Guthaben nach $$4$$ Jahren $$a_4$$: $$13304,61$$ $$€ cdot 1,035=13770,28$$ $$€$$
Guthaben nach $$5$$ Jahren $$a_5$$: $$13770,28$$ $$€ cdot 1,035=14252,24$$ $$€$$


Willst du jetzt z. B. $$a_6$$ wissen, musst du $$a_5$$ nehmen und wieder mit $$1,035$$ multiplizieren.
$$a_6 = a_5 * 1,035 = 14252,24$$ $$€ * 1,035 = …$$

Oder allgemein: $$a_(n+1)=a_n*q$$

Der Nachteil hieran ist, dass man schrittweise vorgehen muss. Um den $$(n+1)$$-ten Wert zu berechnen, muss der $$n$$-te Wert bekannt sein.




Den Zinsfaktor $$q$$ für den Zinssatz $$p$$ berechnest du mit $$q=1+p/100$$.

Direkte Berechnung

Frau Müller möchte Geld sparen. Dazu zahlt sie 3000 € auf ein Sparkonto ein. Die Bank verzinst das Guthaben mit 3,5 % jährlich. Die Zinsen werden dem Guthaben zugeschlagen und dann mitverzinst. Wie viel Geld ist nach 5 Jahren auf dem Konto?

Variante B:

Der Zinssatz ist 3,5 %, also ist der Wachstumsfaktor 1,035.

Guthaben nach $$1$$ Jahr $$a_1$$: $$12000$$ $$€ cdot 1,035^1=12420$$ $$€$$
Guthaben nach $$2$$ Jahren $$a_2$$: $$12000$$ $$€ cdot 1,035^2=12854,70$$ $$€$$
Guthaben nach $$3$$ Jahren $$a_3$$: $$12000$$ $$€ cdot 1,035^3=13304,61$$ $$€$$
Guthaben nach $$4$$ Jahren $$a_4$$: $$12000$$ $$€ cdot 1,035^4=13770,28$$ $$€$$
Guthaben nach $$5$$ Jahren $$a_5$$: $$12000$$ $$€ cdot 1,035^5=14252,24$$ $$€$$

Guthaben nach $$n$$ Jahren $$a_n$$: $$a_n=12000*1,035^n$$

In diese Formel muss nur noch das $$n$$ eingesetzt werden und du bekommst die entsprechende Lösung. So ist es im Gegensatz zu Variante A kein Problem, das Guthaben für ein beliebiges Jahr auszurechnen.




Den Zinsfaktor $$q$$ für den Zinssatz $$p$$ berechnest du mit $$q=1+p/100$$.















Die direkte Berechnung kennst du schon als exponentielles Wachstum mit der allgemeinen Form $$f(x)=a*b^x$$ mit $$b>0$$ und $$b != 1$$

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Zahlenfolgen

Bei den Zinseszinsen hast du zu jedem Jahr das Guthaben notiert. Allgemein: Jeder natürlichen Zahl (0,1, 2, 3, …) hast du eine reelle Zahl $$a_n$$ zugeordnet. Mathematiker nennen so eine Zuordnung Zahlenfolge.
Die Zahlen $$a_n$$ heißen Folgenglieder.

Zahlenfolgen kannst du rekursiv und explizit angeben.

Beispiel:

Folge der geraden Zahlen

$$n$$ $$0$$ $$1$$ $$2$$ $$ 3$$ $$4$$
$$a_n$$ $$a_0=0$$ $$a_1=2$$ $$a_2=4$$ $$a_3=6$$ $$a_4=8$$


Wie findest du die Vorschriften?

Rekursiv: Von Folgeglied zu Folgeglied addierst du $$2$$. Du nimmst also ein beliebiges Folgeglied $$a_n$$ und rechest $$+ 2$$. So erhältst du das nächste Folgeglied $$a_(n+1)$$. Außerdem gibst du immer das Startglied an: $$a_0$$ ist $$0$$. Vorschrift: $$a_(n+1)=a_n + 2$$
$$a_0=0$$

Explizit: Von $$n$$ zu $$a_n$$ kommst du, indem du mal $$2$$ rechnest.
$$a_n=2n$$

Noch ein Beispiel

Wie im Beispiel oben lässt sich auch die Zahlenfolge der ungeraden Zahlen rekursiv und explizit angeben.

$$n$$ $$0$$ $$1$$ $$2$$ $$ 3$$ $$4$$
$$a_n$$ $$a_0=1$$ $$a_1=3$$ $$a_2=5$$ $$a_3=7$$ $$a_4=9$$


Rekursiv: Von Folgeglied zu Folgeglied addierst du $$2$$. Das Startglied ist $$1$$.
$$a_(n+1) = a_n + 2$$ und $$a_0=1$$.

Explizit: Von $$n$$ zu $$a_n$$ kommst du, indem du mal $$2$$ und plus $$1$$ rechnest.
$$a_n = 2n + 1$$.



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