Terme mit einer Variablen zusammenfassen

Terme mit 2 gleichen Gliedern zusammenfassen

Oft kannst du Terme zusammenfassen. So sparst du Schreib- und Rechenarbeit.

Beispiel: $$2x+3x$$

Die Glieder $$2x$$ und $$3x$$ sind gleichartig (oder gleich), weil in beiden die gleiche Variable x vorkommt. Die Vorfaktoren $$2$$ und $$3$$ können sich unterscheiden.

Addiere die Vorfaktoren:

$$2x+3x=5x$$

↓   ↓     ↑

$$2$$  $$+$$  $$3$$  $$=5$$

Das Distributivgesetz besagt:

  $$2·4+3·4$$

$$= (2+3)·4$$

Das gilt natürlich auch, wenn man anstatt der 4 eine Variable x benutzt.
  $$2·x+3·x$$

$$= (2+3)·x$$

$$= 5 ·x$$

Terme mit 2 gleichen Gliedern zusammenfassen

Lange Terme kannst du oft zusammenfassen. Dafür sind die Vorzeichen vor den Termgliedern wichtig.

Beispiel: $$x-2x$$

Das Minus in $$-2x$$ gehört zum Vorfaktor. Der Vorfaktor ist also $$-2$$.

Berechne die Vorfaktoren:

$$x-2x=-x$$

↓   ↓     ↑

$$1$$ $$-$$ $$2$$  $$=-1$$

Du addierst oder subtrahierst gleichartige Terme, indem du die Vorfaktoren addierst oder subtrahierst.



Der Vorfaktor von $$x$$ ist $$1$$.
Einsen werden meist weggelassen:
$$1·x = x$$.





Der Vorfaktor $$-1$$ wird nur zu „$$-$$“, denn
$$-1·x= -x$$.

Terme mit verschiedenen Gliedern zusammenfassen

Termglieder müssen nicht immer gleich sein.

Beispiel: $$3x-x+5+1$$

  • Die Glieder $$3x$$ und $$-x$$ sind gleich, denn sie beinhalten die gleiche Variable.
  • Die Glieder $$5$$ und $$1$$ haben keine Variable.

Du kannst die Glieder, die gleich sind, zusammenfassen.

$$3x−x+5+1=2x  +   6$$

↓ ↓

↓  ↓
$$5+1=$$


$$6$$



$$3$$ $$-$$ $$1$$

$$= 2$$




Du kannst nur gleichartige Glieder in einem Term zusammenfassen!






Glieder, die keine Variable beinhalten sind auch gleich!


Mit dem Distributivgesetz:

  $$3x-x+5+1$$

$$= (3-1)·x+(5+1)$$

$$= 2·x + 6$$





TESTEN

$$3$$ $$-$$ $$1$$

$$=2$$



$$3x-x+5+1=2x+6$$

↓   ↓   ↓  ↓  ↑     ↑

     $$5+1=$$     $$6$$

$$3$$  $$-$$  $$1$$     $$=2$$



$$3x-x+5+1=2x+6$$

↓   ↓   ↓  ↓  ↑     ↑

↓   ↓  $$5+1=$$ ↑     $$6$$

$$3$$  $$-$$  $$1$$     $$=2$$



$$3x-x+5+1=2x+6$$

      ↓  ↓            ↑

↓   ↓  $$5+1=$$ ↑     $$6$$

$$3$$  $$-$$  $$1$$     $$=2$$

$$3x-x$$  $$+$$   $$5+1$$  $$=$$      $$2x$$ $$+$$   $$6$$
↓ ↓ ↓  ↓
$$5+1$$ $$=$$ $$6$$
$$3$$  $$-$$  $$1$$     $$=$$ $$2$$
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Achtung, Vorzeichen!

Terme können aus vielen Termgliedern bestehen.

$$5x$$ $$+4$$ $$-3x$$ $$-3$$ $$-x$$

Die Glieder $$5x$$, $$-3x$$ und $$-x$$ sind gleich und die Glieder $$+4$$ und $$-3$$ sind gleich.

Zuerst sortierst du die Terme. Dabei ist ganz wichtig, dass du immer die Vorzeichen $$+$$ und $$-$$ „mit nimmst“.

$$5x$$ $$-3x$$ $$-x$$ $$+4$$ $$-3$$

Dann fasst du die Termglieder zusammen.

$$5x-3x-x+4-3 = 2x+1$$
           $$4-3 =$$     $$1$$
$$5$$  $$-3$$  $$-1$$         $$=2$$

Du erhältst einen viel kürzeren und einfacheren Term.

Vorzeichen gehören zu dem darauf folgenden Termglied. Nach dem Sortieren steht vor jedem Termglied dasselbe Zeichen ($$+$$ oder $$-$$) wie vor dem Sortieren.









Mit dem Distributivgesetz:

  $$5x+x-3x-x+4-3$$

$$= (5+1-3-1)·x+(4-3)$$

$$= 2·x + 1$$

Terme mit Brüchen zusammenfassen

Vorfaktoren müssen nicht immer natürliche oder ganze Zahlen sein.

$$1/2x+1/3-3/4x+1 1/4x+2/3$$

Auch hier sortierst du zuerst.

$$1/2x-3/4x+1 1/4x+1/3+2/3$$

Und nun fasst du gleiche Termglieder zusammen.

$$1/2x-3/4x+1 1/4x+1/3+2/3$$ $$ =$$ $$x+1$$

$$1/2$$   $$-3/4$$   $$+ 1 1/4$$           $$=1$$

               $$1/3+2/3=$$   $$1$$

Achtung: Wieder die Vorzeichen mitnehmen!



$$1/2x$$, $$-3/4x$$ und $$1 1/4x$$ sind gleichartige Glieder.
$$1/3$$ und $$2/3$$ sind gleichartige Glieder.

Terme mit anderen Variablen

Die Variable heißt nicht immer $$x$$.

$$3y+2-y+1$$

Dennoch gehst du genauso vor.
Sortieren:

$$3y-y+2+1$$

Zusammenfassen:

$$3y-y+2+1=2y+3$$

$$3$$  $$- 1$$          $$=2$$

      $$2+1$$ $$=$$      $$3$$


So fasst du Terme zusammen:

  1. Sortiere gleichartige Termglieder.
  • Glieder mit Variable
  • Zahlen

Dabei nimmst du immer das Vorzeichen mit.

2. Fasse die gleichen Termglieder zusammen, indem du

  • die Vorfaktoren der Variablen addierst oder subtrahierst
  • die Zahlen addierst oder subtrahierst
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