Bruchzahlen addieren und subtrahieren

Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Du addierst Brüche mit gleichen Nennern, indem du nur ihre Zähler addierst.

Der Nenner bleibt dabei unverändert.


Beispiel:

$$1/7 + 3/7= (1+3)/7= 4/7$$


Du subtrahierst Brüche mit gleichen Nennern, indem du nur ihre Zähler subtrahierst.

Der Nenner bleibt dabei unverändert.


Beispiel:

$$3/7- 1/7= (3-1)/7= 2/7$$

Bruchzahlen addieren und subtrahieren

Ungleichnamige Brüche addieren

Brüche mit verschiedenen Nennern kannst du nur addieren, wenn du die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringst.

Hierfür musst du die Brüche kürzen oder erweitern.


Kürzen bedeutet:

Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren.

Beispiel:

$$4/12$$ kürzen mit $$2$$:   $$(4 : 2)/(12 : 2)= 2/6 $$


Erweitern bedeutet:

Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren.

Beispiel:

$$2/3$$ erweitern mit $$4$$:   $$(2 * 4)/(3 * 4) = 8/12 $$


Wenn du für alle Brüche einen Hauptnenner gefunden hast, kannst du die Brüche anschließend ganz normal addieren.

Den gemeinsamen Nenner nennt man auch Hauptnenner.

Bilden des Hauptnenners durch Kürzen

Beispiel 1:

$$1/4+ 4/8$$

Kürze den 2. Bruch mit 2. So haben beide Brüche den gemeinsamen Nenner 4.

$$1/4+ 4/8=1/4+ (4 : 2)/(8 : 2)= 1/4+ 2/4$$

Addiere nun beide Brüche ganz normal.

$$1/4+ 2/4=(1+2)/4 = 3/4 $$


Beispiel 2:

$$2/8 + 6/12$$

Kürze den 1. Bruch mit 2 und den 2. Bruch mit 3. Dadurch bringst du beide Brüche auf den Hauptnenner 4.

$$2/8 + 6/12= (2 : 2)/(8 : 2) + (6 : 3)/(12 : 3)= 1/4+ 2/4$$

Addiere nun beide Brüche ganz normal.

$$1/4+ 2/4= (1+2)/4= 3/4$$

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Bilden des Hauptnenners durch Erweitern

Beispiel 1:

$$1/4+ 1/8$$

Erweitere den 1. Bruch mit 2. So haben beide Brüche den gemeinsamen Nenner 8.

$$1/4+ 1/8=(1 * 2)/(4 * 2)+ 1/8 = 2/8+ 1/8$$

Addiere nun beide Brüche ganz normal.

$$2/8+ 1/8 = (2+1)/8 = 3/8 $$


Beispiel 2:

$$1/2+ 1/3$$

Erweitere den 1. Bruch mit 3 und den 2. Bruch mit 2. Dadurch bringst du beide Brüche auf den Hauptnenner 6.

$$1/2+ 1/3= (1 * 3)/(2 * 3) + (1 * 2)/(3 * 2) = 3/6+ 2/6$$

Addiere nun beide Brüche ganz normal.

$$ 3/6+ 2/6= (3+2)/6= 5/6$$

Ungleichnamige Brüche subtrahieren

Subtrahieren geht genauso wie das Addieren: Erst einen gemeinsamen Nenner (= Hauptnenner) finden.

Bilden des Hauptnenners durch Kürzen

Beispiel 1:

$$3/4- 4/8$$

Kürze den 2. Bruch mit 2. So haben beide Brüche den gemeinsamen Nenner 4.

$$3/4- 4/8= 3/4- (4 : 2)/(8 : 2) = 3/4- 2/4$$

Subtrahiere nun beide Brüche ganz normal.

$$3/4- 2/4= (3-2)/4 = 1/4 $$


Beispiel 2:

$$6/8 - 3/12$$

Kürze den 1. Bruch mit 2 und den 2. Bruch mit 3. Dadurch bringst du beide Brüche auf den Hauptnenner 4.

$$6/8 - 3/12= (6 : 2)/(8 : 2)- (3 : 3)/(12 : 3)= 3/4 - 1/4$$

Subtrahiere nun beide Brüche ganz normal.

$$3/4 - 1/4= (3-1)/4= 2/4$$

Bilden des Hauptnenners durch Erweitern

Beispiel 1:

$$1/4- 1/8$$

Erweitere den 1. Bruch mit 2. So haben beide Brüche den gemeinsamen Nenner 8.

$$1/4- 1/8= (1 * 2)/(4 * 2)- 1/8 =2/8- 1/8$$

Subtrahiere nun beide Brüche ganz normal.

$$2/8- 1/8= (2-1)/8 = 1/8 $$


Beispiel 2:

$$1/2 - 1/3$$

Erweitere den 1. Bruch mit 3 und den 2. Bruch mit 2. Dadurch bringst du beide Brüche auf den Hauptnenner 6.

$$1/2 - 1/3= (1 * 3)/(2 * 3)- (1 * 2)/(3 * 2) =3/6- 2/6$$

Subtrahiere nun beide Brüche ganz normal.

$$ 3/6- 2/6= (3-2)/6= 1/6$$

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Addition und Subtraktion von gemischten Zahlen

Gemischte Zahlen addierst oder subtrahierst du, indem du sie zuerst in unechte Brüche umwandelst. Prüfe dann, ob die Brüche gleiche oder verschiedene Nenner haben.

Gemischte Zahlen in Brüche umwandeln

Eine gemischte Zahl besteht immer aus einer ganzen Zahl und einem Bruch.

Beispiel: $$2 3/4$$

Eine gemischte Zahl kannst du in einen unechten Bruch umwandeln. Der Bruch heißt unecht, weil der Zähler dann größer ist als der Nenner.

Du wandelst die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um, indem du die ganze Zahl mit dem Nenner multiplizierst und dann den Zähler dazu addierst. Der Nenner bleibt gleich.

Beispiel:

$$2 3/4 = (2 *4 + 3)/4= 11/4$$


Brüche in gemischte Zahlen umwandeln

Prüfe bei einem unechten Bruch, wie oft der Nenner in den Zähler passt. Du erhältst eine ganze Zahl und einen Rest. Den Rest notierst du als Bruch mit dem angegebenen Nenner zu der ganzen Zahl.

Beispiel:

$$17/3$$

Die 3 passt fünfmal in die 17. Der Rest ist 2. Also heißt die gemischte Zahl:

$$5 2/3$$

Rechnen mit gemischten Zahlen mit gleichen Nennern

Beispiel 1:

$$1 2/3 + 2 2/3$$

Wandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche um.

$$1 2/3 + 2 2/3 = (1 * 3 + 2)/3 + (2 * 3 + 2)/3 = 5/3 + 8/3 $$

Addiere die unechten Brüche genauso wie normale Brüche.

$$5/3 + 8/3 = 13/3$$

Wandle den unechten Bruch wieder in eine gemischte Zahl um.

$$13/3=4 1/3$$


Beispiel 2:

$$3 1/3 - 2 2/3 $$

Wandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche um.

$$3 1/3 - 2 2/3 = (3 * 3 + 1)/3 - (2 * 3 + 2)/3 = 10/3 - 8/3$$

Subtrahiere die unechten Brüche genauso wie normale Brüche.

$$10/3 - 8/3 = 2/3$$

Rechnen mit gemischten Zahlen mit verschiedenen Nennern

Beispiel 1:

$$1 2/3 + 2 2/5$$

Wandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche um.

$$1 2/3 + 2 2/5 = (1 * 3 + 2)/3 + (2 * 5 + 2)/5 = 5/3 + 12/5$$

Bringe die unechten Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

$$5/3 + 12/5 = (5 * 5)/(3 * 5)+ (12 * 3)/(5 * 3) = 25/15 + 36/15$$

Addiere die unechten Brüche genauso wie normale Brüche.

$$25/15 + 36/15 = 61/15$$

Wandle den unechten Bruch wieder in eine gemischte Zahl um und kürze soweit wie möglich.

$$61/15=4 1/15$$


Beispiel 2:

$$4 2/5 - 2 2/3$$

Wandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche um.

$$4 2/5 - 2 2/3 = (4 * 5 + 2)/5 - (2 * 3 + 2)/3 = 22/5 - 8/3$$

Bringe die unechten Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

$$22/5 - 8/3 = (22 * 3)/(5 * 3)- (8 * 5)/(3 * 5) = 66/15 - 40/15$$

Subtrahiere die unechten Brüche genauso wie normale Brüche.

$$66/15 - 40/15 = 26/15$$

Wandle den unechten Bruch wieder in eine gemischte Zahl um.

$$26/15=1 11/15$$

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