Anwendungsaufgaben mit Zehnerpotenzen

Wozu Zehnerpotenzen mit ganzzahligen Exponenten?

Du weißt schon: Alle Zahlen lassen sich in wissenschaftlicher Schreibweise mithilfe von Zehnerpotenzen notieren.

Bei ganz großen oder bei ganz kleinen Zahlen interessiert oft nur die Größenordnung.

Ganz groß oder ganz klein

Beim Runden ist die wissenschaftliche Schreibweise also besonders praktisch, weil du die ganzen Nullen nicht schreiben und lesen brauchst.

Beispiel: Der nächste Stern ist ca. $$40678000000000$$ $$km$$ von uns entfernt. Das sind rund $$4,07*10^13$$ $$km$$.

Manchmal ist es auch sinnvoll, dich nicht ganz genau an die wissenschaftliche Schreibweise zu halten, sondern eine gemeinsame Zehnerpotenz als Vergleichseinheit zu wählen.

Beispiel: Bei der Untersuchung bestimmter Krebszellen wurden Zelldurchmesser zwischen $$0,0000117$$ $$m$$ und $$0,0000121$$ $$m$$ festgestellt. Der Durchmesser dieser Zellen war also ca. $$12,1*10^(-6)m$$. Ein rotes Blutkörperchen hat einen etwas kleineren Durchmesser von ca. $$7,5*10^(-6)$$ $$m$$.

Ganz große Zahlen

Oft interessieren dich bei sehr großen Zahlen die kleinen Stellenwerte gar nicht. Die Einwohnerzahlen sehr großer Städte z. B. ändern sich vielleicht täglich - interessant sind eigentlich nur die größten Stellenwerte dieser Angaben.

Millionenstädte

Im Internet findest du Angaben über die Einwohnerzahlen großer Städte - willst du sie z. B. in einem Diagramm darstellen und vergleichen, rundest du für Millionenstädte am besten auf die Hunderttausenderstelle und schreibst die Einwohnerzahlen als Vielfache von 1 Million, also von $$10^6$$, auf.

Dann kannst du einfach so viele Kästchen oder Längeneinheiten abtragen, wie du es aus dieser Schreibweise ablesen kannst. Die Einheit auf der Hochachse ist dann also 1 Million.

Stadt Einwohner- zahl (ca.) Staat
Mexiko-Stadt 22.000.000 Mexiko
Peking 21.500.000 China
New Delhi 14.000.000 Indien
Washington, D.C. 6.000.000 USA
Ankara 5.000.000 Türkei
Berlin 3.500.000 Deutsch- land



Anwendungsaufgaben mit Zehnerpotenzen Mexiko-Stadt
Bild: iStockphoto.com (abalcazar)

Vergleich nach Größenordnung

Das Diagramm soll einen Überblick geben, du willst mit einem Blick vergleichen können. Deine Tabelle sieht dann so aus:

Stadt Einwohnerzahl in Mio. (gerundet)
Mexiko-Stadt $$21,2*10^6$$
Shanghai $$19,2*10^6$$
Peking $$15,8*10^6$$
Istanbul $$14,2*10^6$$
Karatschi $$13,1*10^6$$
zum Vergleich:
Berlin
$$3,5*10^6$$

Anwendungsaufgaben mit Zehnerpotenzen

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Wie rechnest du die Zehnerpotenzen um?

Du weißt schon: Mit Zehnerzahlen zu multiplizieren oder zu dividieren ist im Zehnersystem besonders einfach.

Welcher Exponent ist richtig?


Anwendungsaufgaben mit Zehnerpotenzen

Multiplikation mit 10 erhöht den Exponenten zur Basis 10 um 1.
Die Zahl bleibt gleich, wenn du den Exponenten um 1 erhöhst und dafür die Kommazahl vor der Zehnerpotenz durch 10 dividierst.

Division durch 10 vermindert den Exponenten zur Basis 10 um 1.
Die Zahl bleibt gleich, wenn du den Exponenten um 1 verminderst und dafür die Kommazahl vor der Zehnerpotenz mit 10 multiplizierst.


Multiplikation mit 10:

Verschiebe das Komma um 1 Stelle nach rechts bzw. hänge eine Null an.

Division durch 10:

Verschiebe das Komma um 1 Stelle nach links bzw. streiche eine Null weg.

Ganz kleine Zahlen

Auch bei ganz kleinen Zahlen interessiert dich nur die Größenordnung. Außerdem sind die vielen Nullen nach dem Komma lästig, weil sie das Lesen der Zahl erschweren. Du weißt schon, dass du das Problem mit negativen Exponenten lösen kannst.

Was ist größer?

Ein Haar ist $$0,05$$ $$mm$$ bis $$0,07$$ $$mm$$ dick.

Die Härchen in der Nase sollen uns vor Fremdstoffen schützen, bei zu kleinen Teilchen klappt das aber nicht immer.

Ein Virus hat einen Durchmesser von $$0,15$$ $$mu m$$.

Warum bekommst du so oft Schnupfen?

Gemeinsamer Exponent gesucht

Wegen der verschiedenen Maßeinheiten kannst du die Durchmesser nicht vergleichen. Du kannst, wie früher, beide Durchmesser in $$mm$$ oder $$mu m$$ umwandeln, du kannst aber auch die wissenschaftliche Schreibweise zum Vergleich nutzen:

Haar: $$0,05$$ $$mm$$= $$5*10^(-2)$$ $$mm$$= $$5*10^(-5)$$ $$m$$

Virus: $$0,15 $$ $$mu m$$= $$1,5*10^(-1)$$ $$mu m$$= $$1,5*10^(-7)$$ $$m$$


Jetzt schreibst du für den Haardurchmesser

$$5*10^(-5)$$ $$m$$ $$=$$ $$500*10^(-7)$$ $$m$$.

Du siehst, dass ein Haar $$500/1,5$$-mal so dick ist wie ein Virus. Das ist mehr als 300-mal so dick.


Vorsilben und Zehnerpotenzen

Vor- silbe Buch- stabe Be- deutung
Mega- M $$10^6$$
Kilo- k $$10^3$$
Dezi- d $$10^(-1)$$
Centi- c $$10^(-2)$$
Milli- m $$10^(-3)$$
Mikro- µ $$10^(-6)$$
Nano- n $$10^(-9)$$


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