Parameter quadratischer Funktionen untersuchen 3

Verschieben nach rechts und links

Los geht’s immer mit der Normalparabel und den Punkten $$(0|0), (1|1), (-1|1), (2|4), (-2|4)$$.

Parameter quadratischer Funktionen untersuchen 3

Der Einfluss des Parameters $$d$$ bei $$f(x)=(x-d)^2$$:

Du kannst die Normalparabel entlang der $$x$$-Achse nach rechts und links verschieben.

Das bewirkt der Parameter $$d$$ in $$f(x)=(x-d)^2$$.

$$f(x)=(x-0)^2=x^2$$
Bei der Funktionsgleichung der Normalparabel ist der Wert des Parameters $$d$$ gleich Null.

Der Einfluss des Parameters $$d$$ für $$d=+2$$

Stell dir vor, du nimmst den Graphen der Normalparabel in die Hand und verschiebst ihn um 2 Einheiten nach rechts.
Der „normale“ Scheitelpunkt $$(0|0)$$ liegt jetzt bei $$(2|0)$$.
Der „normale“ Punkt $$(1|1)$$ liegt bei $$(3|1)$$ usw.

Parameter quadratischer Funktionen untersuchen 3

Du siehst, dass die roten Verschiebungspfeile parallel zur $$x$$-Achse verlaufen. Deshalb sprechen Mathematiker von der „Verschiebung parallel zur $$x$$-Achse“.

Fortsetzung

Du kannst erkennen, dass durch die Verschiebung nach rechts den „alten“ $$y$$-Werten neue $$x$$-Werte zugeordnet werden.
Der $$y$$-Wert $$0$$ liegt nun beim $$x$$-Wert $$2$$. Den $$y$$-Wert $$1$$ findest du bei $$1$$ (vorher $$-1$$) und $$3$$ (vorher $$1$$).


Es findet also zunächst eine Veränderung der $$x$$-Werte statt, um den neuen Verlauf der Normalparabel zu erhalten.

Die Funktionsgleichung muss demnach die folgende Form haben:$$f(x)=(x+-?)^2$$

Setzt du jetzt in die gesuchte Funktionsgleichung für $$x$$ den Wert $$2$$ ein, so muss für $$y$$ der Wert $$0$$ herauskommen (siehe neuer Scheitelpunkt).
Es gilt also: $$f(2)=(2+-?)^2=0$$. Damit kommt nur $$(2-2)^2=0$$ infrage, damit die Gleichung stimmt. Die Funktionsgleichung lautet also: $$f(x)=(x-2)^2$$.

Überprüfe diese Funktionsgleichung für andere Punkte.
$$f(-1)=(-1-2)^2=(-3)^2=9$$
$$f(0)=(0-2)^2=(-2)^2=4$$
$$f(1)=(1-2)^2=(-1)^2=1$$
Die Werte passen.

Fazit: Schiebst du also die Normalparabel um zwei Einheiten nach rechts ($$+2$$), so lautet die zugehörige Funktionsgleichung $$f(x)=(x-2)^2$$.

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Der Einfluss des Parameters $$d$$ für $$d=-3$$

Nimm die Normalparabel wieder in die Hand und schiebe sie dieses Mal um drei Einheiten nach links.
Der „normale“ Scheitelpunkt $$S(0|0)$$ verschiebt sich auf $$S(-3|0)$$, der Punkt $$(1|1)$$ verschiebt sich auf $$(-2|1)$$ usw.

Parameter quadratischer Funktionen untersuchen 3

Fortsetzung

Überlege dir wieder: Beim Einsetzen in die gesuchte Funktionsgleichung für den $$x$$-Wert $$-3$$ muss der $$y$$-Wert $$0$$ herauskommen.


Die mögliche Funktionsgleichung lautet daher: $$f(x)=(x+3)^2$$, denn$$f(-3)=(-3+3)^2=0$$

Überprüfe weitere Punkte der veränderten Normalparabel:
$$f(0)=(0+3)^2=3^2=9$$
$$f(-1)=(-1+3)^2=2^2=4$$
$$f(-2)=(-2+3)^2=1^2=1$$

Die gefundene Funktionsgleichung erfüllt alle Punktpaare.

Fazit: Schiebst du die Normalparabel um drei Einheiten nach links ($$-3$$), so lautet die zugehörige Funktionsgleichung $$f(x)=(x+3)^2$$.

Wertetabellen

So sehen die Wertetabellen der beiden Funktionen aus:
$$d=+2$$:

Parameter quadratischer Funktionen untersuchen 3


Die „normalen“ $$y$$-Werte findest du wieder, wenn du bei den $$x$$-Werten zwei Schritte (Einheiten) nach rechts gehst.


$$d=-3$$:
Parameter quadratischer Funktionen untersuchen 3


Für $$d=-3$$ findest du die „normalen“ $$y$$-Werte wieder, wenn du bei den $$x$$-Werten drei Schritte (Einheiten) nach links gehst.

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Im Überblick

Bei einer Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts lautet die zugehörige Funktionsgleichung $$f(x)=(x-2)^2$$.

Bei einer Verschiebung um 3 Einheiten nach links lautet die zugehörige Funktionsgleichung $$f(x)=(x+3)^2$$.

Der Parameter $$d$$ bei der Verschiebung nach rechts ist positiv.
Der Parameter $$d$$ bei der Verschiebung nach links ist negativ.

Die allgemeine Funktionsgleichung lautet wie folgt: $$f(x)=(x-d)^2$$.

Ist $$d$$ nämlich positiv ($$+d$$), dann lautet die Funktionsgleichung $$f(x)=(x-(+d))^2=(x-d)^2$$.
Ist $$d$$ negativ ($$-d$$), dann lautet die Funktionsgleichung $$f(x)=(x-(-d))^2=(x+d)^2$$.

Der Scheitelpunkt einer um $$d$$ verschoben Normalparabel mit der Gleichung $$f(x)=(x-d)^2$$ liegt bei $$(d|0)$$.

Zwei abschließende Beispiele

$$f(x)=(x-4)^2$$

Das Minuszeichen in der Klammer sagt dir, dass die Normalparabel nach rechts um $$4$$ Einheiten verschoben wird, weil der Parameter $$d=+4$$ ist.
Der Scheitelpunkt liegt bei $$S(4|0)$$.

$$f(x)=(x+1/2)^2$$
Das Pluszeichen in der Klammer sagt dir, dass die Normalparabel nach links verschoben wird, und zwar um eine halbe Einheit, da der Parameter $$d=-1/2$$ ist. Der Scheitelpunkt liegt bei $$S(-1/2| 0)$$.



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