Quadratwurzeln mit Variablen zusammenfassen

Quadratwurzeln mit Variablen zusammenfassen

So wie du Quadratwurzeln mit Zahlen zusammenfasst, kannst du auch Wurzeln mit Variablen zusammenfassen.

Beispiele für Wurzelterme mit Variablen:

  $$sqrt(z*z^3)$$    $$sqrt(ab^2)$$    $$sqrt(a/(ab^2))$$

Im Folgenden lernst du noch einmal die Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten und kannst dir Beispiele mit Variablen ansehen.

Zur Erinnerung:

Du kannst Wurzeln nicht einfach addieren oder subtrahieren.

Richtig: $$sqrt(25)-sqrt(16)=5-4=1$$

Falsch!!! $$sqrt(25)-sqrt(16)=sqrt(9)=3$$

Den Definitionsbereich von Variablen einhalten

Bei Aufgaben mit Variablen schaust du zuerst, welche Zahlen du für die Variablen einsetzen darfst.

Du kannst nämlich aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen und die Wurzel kann niemals negativ sein.

Fall 1:

Im Regelfall sind die Variablen größer oder gleich Null.

Beispiel: $$sqrt(z*z^2)$$ für $$zge0$$

Fall 2:

Manchmal kannst du alle reellen Zahlen für die Variable einsetzen.

Beispiel: $$sqrt(z*z^3)$$ für $$zinRR$$

Quadratwurzeln multiplizieren

Fall 1: Variable $$ge0$$

Wir beschränken uns zunächst auf nicht-negative Radikanden.
Für Produkte von Quadratwurzeln gilt folgendes Wurzelgesetz:

$$sqrt(a)*sqrt(b)=sqrt(a*b)$$   mit   $$a,bge0$$

Du multiplizierst zwei Quadratwurzeln, indem du die Radikanden multiplizierst und dann aus dem Produkt
die Wurzel ziehst .

Beispiel: $$sqrt(z)*sqrt(z^3)=sqrt(z*z^3)=sqrt(z^4)=z^2$$   $$zge0$$

Beweis:

  • Zunächst ist $$sqrt(a)*sqrt(b)$$ nicht negativ, da $$sqrt(a)$$ und $$sqrt(b)$$ nicht negativ sind.

  • $$(sqrt(a)*sqrt(b))^2$$
    $$=(sqrt(a)*sqrt(b))*(sqrt(a)*sqrt(b))$$
    $$=sqrt(a)*sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(b)$$
    $$=a*b$$

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Quadratwurzeln dividieren

Fall 1: Variable $$ge0$$

Betrachte zunächst nicht-negative Radikanden.

Für Quotienten von Quadratwurzeln gilt folgendes Wurzelgesetz:

$$sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b)$$   mit   $$age 0$$   und   $$bgt0$$

Du dividierst zwei Quadratwurzeln, indem du die
Radikanden dividierst und dann aus dem Quotienten
die Wurzel ziehst.

$$sqrt(a):sqrt(ab^2)=sqrt(a)/sqrt(ab^2)=sqrt(a/(ab^2)) $$

$$stackrel (Kürzen)= sqrt(1/b^2)=sqrt(1)/sqrt(b^2)=1/b$$   mit $$a,bgt0$$

Beweis:

  • zunächst ist $$sqrt(a):sqrt(b)$$ nicht-negativ, da $$sqrt(a)$$ und $$sqrt(b)$$ nicht-negativ sind.
  • $$(sqrt(a):sqrt(b))^2$$
    $$=(sqrt(a)/sqrt(b))^2$$
    $$=(sqrt(a)/sqrt(b))*(sqrt(a)/sqrt(b))$$
    $$=a/b$$

Wurzelterme umformen

Fall 1: Variable $$ge0$$

So bringst du einen Faktor unter die Wurzel:

Variablen kannst du genauso wie Zahlen durch Quadrieren unter eine Wurzel schreiben. Dann wendest du die Wurzelgesetze an.

Beispiel: $$c*sqrt(7)=sqrt(c^2)*sqrt(7)=sqrt(7*c^2)$$ mit $$cge0$$

Wurzelterme umformen

Fall 1: Variable $$ge0$$

So geht das teilweise Wurzelziehen:

Suche die Quadratzahl im Radikanden. Du kannst Variablen nur aus der Wurzel „entfernen“, wenn sie einen geraden Exponenten haben.

Beispiele:

a) $$sqrt(a/49)=sqrt(a)/sqrt(49)=sqrt(a)/7$$ $$age0$$

b) $$sqrt((a^2b^3)/(18z^2))=sqrt(a^2b^3)/sqrt(18z^2)=(a*sqrt(b^3))/(z*sqrt(9*2))=(asqrt(b^3))/(3zsqrt(2))=a/(3z)*sqrt(b^3/2)$$ 

$$a,bge0$$ und $$zgt0$$

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Spezialfälle

Fall 2: Variable $$inRR$$

Eine Wurzel ist immer nicht-negativ. Es kann nie eine negative Zahl herauskommen. Das kannst du mit Betragsstrichen ausdrücken.

Beispiel: $$sqrt((-4)^2)=|-4|=4$$

Achtung, das ist falsch: Quadratwurzeln mit Variablen zusammenfassen


Allgemein gilt: $$sqrt(a^2)=|a|$$   $$a inRR$$


Beispiele: Ziehe teilweise die Wurzel.

a) $$sqrt(a^2*b)=sqrt(a^2)*sqrt(b)=|a|*sqrt(b)$$   mit $$a,binRR$$ und $$bge0$$

b) $$sqrt((a^2b^3)/(18z^2))=sqrt(a^2b^3)/sqrt(18z^2)=(|a|*sqrt(b^3))/(|z|*sqrt(9*2))=(|a|sqrt(b^3))/(3|z|sqrt(2))$$$$=|a|/(3|z|)*sqrt(b^3/2)$$
mit $$a,b,zinRR$$ und $$z!=0$$

Der Betrag

… ist eine nicht-negative Zahl, die zu jeder beliebigen Zahl den Abstand zur Null angibt.

Beispiel: $$|3|=3$$ und $$|-3|=3$$

So formst du Wurzelterme um

  1. Schau in der Aufgabenstellung nach, welche Zahlen du
    für die Variable einsetzen darfst.

  2. Fall 1: Variable $$ge0$$
    Wende wie gelernt die Wurzelgesetze an.

    Fall 2: Variable $$in RR$$
    Rechne mit den Betragsstrichen.
    $$sqrt(a^2)=|a|$$   $$ain RR$$

Wurzeln mit dem Formel-Editor

So gibst du in kapiert.de Wurzeln mit dem Formel-Editor ein:

 

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