Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Mensch ärgere Dich nicht

Tony hat noch mal ein paar Freunde bequatscht und sie
fangen ein neues Spiel von „Mensch ärgere Dich nicht“ an.
Alle warten also auf eine 6, damit sie eine Spielfigur aufs Feld setzen können.

Wilde Methoden machen die Runde: mit links würfeln, einen Würfelbecher nehmen, Zaubersprüche, …

Aber jetzt mal ganz nüchtern: Wie groß ist die Chance, eine 6 zu würfeln?

Der Würfel hat die sechs Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Du willst eine 6. Du kannst auch sagen: Die 6 ist das günstige Ergebnis.

Die 6 ist eine Zahl von den sechs Zahlen. Das klingt doch nach Anteil! 1 von 6 ist günstig. Als Bruch: $$1/6$$.

Mathematiker sagen: Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, ist $$1/6$$.

Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Bild: Michael Fabian

Und die relative Häufigkeit?

Wie passt denn die Wahrscheinlichkeit mit diesen
Häufigkeiten zusammen, fragst du dich vielleicht.

Wieso hast du diese Strichlisten gezeichnet und relative Häufigkeiten berechnet beim Würfeln…

Beispiel: 60-mal würfeln

Augen- zahl Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit
1
||||   ||||
$$9/60$$
2
|||| ||||
$$10/60$$
3
||||   ||||
$$9/60$$
4
|||| ||||   ||
$$12/60$$
5
|||| |||| |||
$$13/60$$
6
||||   ||
$$7/60$$


Wenn du wirklich würfelst, ist der Anteil der 6en ja fast nie ganz genau $$1/6$$. Je öfter das Würfelexperiment durchgeführt wird
(1000-mal, 10 000-mal…), desto näher kommt der Anteil der 6en an $$1/6$$ heran.

Aber ist doch irgendwie logisch: Ein Würfel hat 6 gleiche Seiten, was soll da anderes passieren, als dass du jede Zahl mit dem Anteil von $$1/6$$ würfelst. Genau das ist der Punkt! Du erwartest $$1/6$$. Das nennen Mathematiker Wahrscheinlichkeit.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist die erwartete relative Häufigkeit dieses Ergebnisses.

Bei einem Zufallsexperiment kannst du das Ergebnis nicht vorhersagen.

  • Würfel werfen
  • Münze werfen
  • Legosteine werfen
  • Lose ziehen
  • Glücksrad drehen


Berechnung der relativen Häufigkeit: $$relative \ Häuf.=frac{ab solute \ H ä uf.}{Gesamtzahl}$$

Relative Häufigkeiten kannst du sowohl in Brüchen, Dezimalbrüchen als auch in Prozent (%) angeben.
Beispiel: $$frac{1}{4}=frac{25}{100}=0,25=25%$$

Beispiele für Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit hat das Symbol $$p$$. Das kommt aus dem Englischen: probability.

Glücksrad

Wahrscheinlichkeiten bestimmen


Ergebnismenge: {ROT; BLAU; GELB}

Wahrscheinlichkeit für ROT: $$p = 2/6=1/3$$

Wahrscheinlichkeit für BLAU: $$p = 1/6$$

Wahrscheinlichkeit für GELB: $$p = 3/6=1/2$$

Urne

Wahrscheinlichkeiten bestimmen


Ergebnismenge: {1; 2; 3; 4}

Wahrscheinlichkeit für 1: $$p = 3/8$$

Wahrscheinlichkeit für 2: $$p = 2/8=1/4$$

Wahrscheinlichkeit für 3: $$p = 2/8=1/4$$

Wahrscheinlichkeit für 4: $$p = 1/8$$

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Gleich wahrscheinlich

Einfach zum Rechnen sind Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Beim Würfeln haben alle Zahlen von 1 bis 6 die gleiche Wahrscheinlichkeit $$p=1/6$$.

Weitere Beispiele:

Münze werfen
Ergebnismenge: {Kopf; Zahl}
Anzahl der möglichen Ergebnisse: 2
Wahrscheinlichkeit für ein günstiges Ergebnis: $$p = frac{1}{2}$$

Kartenspiel

Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Ergebnismenge: {Kreuz 7; Kreuz 8; …, Karo König; Karo Ass}
Anzahl der möglichen Ergebnisse: 32
Wahrscheinlichkeit für ein günstiges Ergebnis: $$p = frac{1}{32}$$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Kreuzkarte zu ziehen?
Lösung:
Anzahl der möglichen Ergebnisse: 32
Anzahl der günstigen Ergebnisse: 8
Die Wahrscheinlichkeit, eine Kreuzkarte zu ziehen, beträgt $$p = frac{8}{32} = frac{1}{4} = 0,25$$.

Wenn bei einem Zufallsexperiment alle möglichen Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten, berechnest du die Wahrscheinlichkeit $$p$$ so:
$$p = frac{Anzahl \ der \ günsti g en \ Er g ebnisse}{Anzahl \ der \ möglichen \ Er g ebnisse}$$

Allgemeines zur Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist ein Anteil. Das heißt, sie liegt zwischen 0 und 1. Und was ist mit 0 und 1?

Beispiel Würfeln:

Ergebnismenge: {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Unmögliches Ereignis:

  • Ereignis „Zahl größer 6“: { }
  • $$p=0$$

Mögliches Ereignis:

  • Ereignis „gerade Zahl“: {2; 4; 6}
  • $$p=3/6=1/2$$

Sicheres Ereignis:

  • Ereignis „Zahl kleiner als 7, aber größer als 0“: {1; 2; 3; 4; 5; 6}
  • $$p=1$$

Für die Wahrscheinlichkeit $$p$$ gilt:

  • $$p = 0$$: Das Ereignis tritt nie ein, das Ereignis ist unmöglich.
  • $$0 lt p lt 1$$: Das Ereignis ist möglich.
  • $$p = 1$$: Das Ereignis tritt immer ein. Das Ereignis ist sicher.


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