Wurzelterme rational machen

Was machst du mit einer Wurzel im Nenner ?

Mit Wurzeln im Nenner kannst du meist nicht gut rechnen. Hier lernst du einen Trick, wie du die Wurzel im Nenner loswirst: das Rationalmachen des Nenners.

Dazu erweiterst du den Bruch.

Beispiele:

(1) $$1/sqrt(2)=1/sqrt(2)*$$ $$sqrt(2)/sqrt(2)$$ $$=sqrt(2)/(sqrt(2)*sqrt(2))=sqrt(2)/2approx1,4/2=0,7$$

Im Nenner steht $$sqrt(2)$$, deshalb erweiterst du mit $$sqrt(2)$$.


(2) $$5/sqrt(5)=5/sqrt(5)*$$ $$sqrt(5)/sqrt(5)$$ $$=(5*sqrt(5))/5$$

Erinnerungen:

  • $$\text{Bruch}= \frac {\text{Zähler}} {\text {Nenner}} $$


  • $$sqrt(a)*sqrt(a)=a$$


  • Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren

  • Die dritte binomische Formel im Nenner nutzen

    Für schwierigere Aufgaben benötigst du die 3. Binomische Formel:

    $$(a-b)*(a+b)=a^2-b^2$$

    Erweitere so, dass im Nenner die 3. binomische Formel entsteht.

    Beispiele:

    (1) $$7/(3-sqrt(2))=7/(3-sqrt(2))*$$ $$(3+sqrt(2))/(3+sqrt(2))$$ $$=(7*(3+sqrt(2)))/((3-sqrt(2))*(3+sqrt(2)))$$

    $$=(7*(3+sqrt(2)))/(3^2-sqrt(2)^2)=(7*(3+sqrt(2)))/(9-2)=(7*(3+sqrt(2)))/7$$


    (2) $$3/(sqrt(5)+sqrt(3))=3/(sqrt(5)+sqrt(3))*$$ $$(sqrt(5)-sqrt(3))/(sqrt(5)-sqrt(3))$$ $$=(3*(sqrt(5)-sqrt(3)))/((sqrt(5)+sqrt(3))*(sqrt(5)-sqrt(3)))$$

    $$=(3*(sqrt(5)-sqrt(3)))/(sqrt(5)^2-sqrt(3)^2)=(3*(sqrt(5)-sqrt(3)))/(5-3)=(3*(sqrt(5)-sqrt(3)))/2$$


    (3) $$(-a)/(sqrt(3)+sqrt(a))=(-a)/(sqrt(3)+sqrt(a))*$$ $$(sqrt(3)-sqrt(a))/(sqrt(3)-sqrt(a))$$ $$=((-a)*(sqrt(3)-sqrt(a)))/((sqrt(3)+sqrt(a))*(sqrt(3)-sqrt(a)))$$

    $$=((-a)*(sqrt(3)-sqrt(a)))/(sqrt(3)^2-sqrt(a)^2)=((-a)*(sqrt(3)-sqrt(a)))/(3-a)=(-a*sqrt(3)+a*sqrt(a))/(3-a)$$

    So löst du Wurzelgleichungen

    Manchmal ist es auch beim Lösen von Gleichungen sinnvoll, die Wurzeln im Nenner zu beseitigen. Dazu kannst du die Brüche wieder erweitern oder die gesamte Gleichung mit einem Wurzelterm multiplizieren.

    Beispiel:

    $$x/sqrt(3)=4/sqrt(27) |$$ $$*sqrt(3)$$

    $$hArr(x*sqrt(3))/sqrt(3)=(4*sqrt(3))/sqrt(27)$$

    $$hArrx=(4*sqrt(3))/sqrt(27)$$

    $$hArrx=4*sqrt(3/27)=4*sqrt(1/9)=4*1/3=4/3$$

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