Quadratische Gleichungen mithilfe des Faktorisierens lösen

Nullproduktsatz oder Faktorisieren

Ein praktisches Werkzeug, um quadratische Gleichungen zu lösen! Wenn’s passt. Guck dir hier den Nullproduktsatz an. Oft heißt es auch Faktorisieren.

 

Zum Nachlesen

Wenn eine quadratische Gleichung nur Glieder mit der Variablen hat (meistens $$x$$) und $$=0$$ sein soll, gibt es einen einfachen Trick fürs Lösen.

Beispiele

  • $$x^2 +x = 0$$
  • $$ 2x^2 + 1,5x = 0$$
  • $$ 2x -x^2 = 0$$

Trick: x ausklammern = Faktorisieren

Löse die Gleichung $$x^2+2x=0$$.

Klammere x aus. So erhältst du 2 Faktoren. Deshalb heißt der Schritt auch Faktorisieren.

$$x^2 + 2x = 0$$ $$|$$ ausklammern

$$x·(x + 2) = 0$$

Auf der linken Seite steht jetzt ein Produkt. Ein Produkt wird 0, wenn der eine oder der andere Teil 0 ist.

1. Fall: $$ x=0$$
Also 1. Lösung: $$x_1=0$$

2. Fall: $$ x+2=0$$
Also 2. Lösung: $$x_2=-2$$

Lösungsmenge: $$L={0;-2}$$

Gleichungen, in denen nur Glieder mit Variable vorkommen, löst du durch Ausklammern. Wende dann an: Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.










Nullproduktsatz: Das Produkt $$a·b$$ zweier Terme a und b ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren a oder b Null ist.
Kürzer: Aus $$a·b=0$$ folgt $$a = 0$$ oder $$b = 0$$ oder beide gleich 0.

Erst umformen, dann faktorisieren

Gleichungen, die einen Faktor vor dem $$x^2$$ haben, formst du erst um.

1. Beispiel

$$-4$$$$x^2-8x=0$$  $$|$$ $$:$$$$(-4)$$

$$x^2+2x=0$$

$$x·(x+2)=0$$

1. Fall: $$ x=0$$
Also 1. Lösung: $$x_1=0$$

2. Fall: $$x+2=0$$
Also 2. Lösung: $$x_2=-2$$

Lösungsmenge: $$L={0;-2}$$

2. Beispiel

$$(1)/(3)x^2=2x$$  $$|·3$$

$$x^2=6x$$  |$$-6x$$

$$x^2-6x=0$$

$$x·(x-6)=0$$

1. Fall: $$ x=0$$
Also 1. Lösung: $$x_1=0$$

2. Fall: $$x-6=0$$
Also 2. Lösung: $$x_2=6$$

Lösungsmenge: $$L={0;6}$$

Enthält eine quadratische Gleichung nur quadratische und lineare Glieder, kannst du die Gleichung durch Umstellen und Faktorisieren lösen.


Die Gleichung wird durch $$-4$$ dividiert, damit der Koeffizient des quadratischen Gliedes $$1$$ wird.


Ein zweiter Lösungsweg ist möglich, wenn du $$-4x$$ ausklammerst.
 $$-4x^2-8x=0$$
 $$-4x·(x+2)=0$$
1. Lösung: $$-4x=0$$ mit $$x_1=0$$
2. Lösung: $$x+2=0$$ mit $$x_2=-2$$

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Gleichungen der Form $$x^2+p·x=0$$, $$p in RR$$

So sieht die allgemeine Lösung aus:

Lösungsschritte

Gleichung: $$x^2+p·x=0$$
Faktorisieren: $$x·(x+p)=0$$
Nullproduktsatz: $$x=0$$ oder $$x+p=0$$
Lösungen: $$x_1=0$$ und $$x_2=-p$$
Lösungsmenge: $$L={0;-p}$$

Beispiel

Gleichung: $$x^2-2,5·x=0$$
Faktorisieren: $$x·(x-2,5)=0$$
Nullproduktsatz: $$x=0$$ oder $$x-2,5=0$$
Lösungen: $$x_1=0$$ und $$x_2=2,5$$
$$p=-2,5$$, also $$-p=+2,5$$
Lösungsmenge: $$L={0;  2,5}$$

Eine Lösung dieser quadratischen Gleichungen ist immer 0!



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