Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion 2

Sinus und Kosinus „anpassen“

Du kennst nun die Sinus- und die Kosinusfunktion mit $$f(x)=sinx$$ und $$g(x)=cos x$$.

Wenn du „echte“ periodische Vorgänge aus der Realität mit der Sinus- oder Kosinusfunktion beschreiben willst, wird der Graph nicht so gut passen. Du müsstest zum Beispiel Periode oder Amplitude verändern können.

Das geht mit Parametern.

Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion 2

Sinus und Kosinus stauchen und strecken

Was passiert, wenn du alle Funktionswerte der Sinusfunktion mit einer Zahl multiplizierst?

Mathematisch: Nimm die Funktion $$f(x)=a*sin(x)$$ und setze unterschiedliche Werte für $$a$$ ein. Das sieht dann so aus:


Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion 2


  • Der Parameter $$a$$ staucht oder streckt die Kurve in y-Richtung.
  • Wenn $$a$$ zwischen $$-1$$ und $$+1$$ liegt, ist die Sinusfunktion gestaucht.
  • Wenn $$a$$ größer als $$1$$ oder kleiner als $$-1$$ ist, ist die Sinusfunktion gestreckt.
  • Wenn $$a$$ kleiner als 0 ist, wird die Sinusfunktion an der x-Achse gespiegelt.
  • Der Parameter $$a$$ verändert die Amplitude der Funktion. Die Amplitude ist so groß wie a. (Aber mit positivem Vorzeichen $$+$$.)


Für $$g(x)=acos x$$ funktioniert die Stauchung oder Streckung ganz genauso.

Stauchen und Strecken in x-Richtung

Du kannst auch probieren, was passiert, wenn du die x-Werte erst mit einer Zahl multiplizierst und dann den Sinus bildest.
Die Funktion heißt dann $$f(x)=sin(b*x)$$. So sieht die Funktion für verschiedene $$b$$ aus:


Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion 2


  • Der Parameter $$b$$ staucht oder streckt die Sinusfunktion in x-Richtung.
  • Wenn $$b$$ zwischen $$-1$$ und $$+1$$ liegt, ist die Sinusfunktion gestaucht.
  • Wenn $$b$$ größer als $$1$$ oder kleiner als $$-1$$ ist, wird die Funktion gestreckt.
  • Wenn $$b$$ kleiner als $$0$$ ist, wird die Sinusfunktion an der y-Achse gespiegelt.
  • Der Parameter $$b$$ verändert die Periodenlänge. $$b$$ gibt an, wie viel mal schneller die Schwankung stattfindet.


Für $$g(x)=cos(b*x)$$ funktioniert die Stauchung oder Streckung ganz genauso.

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Beispiel:
Eine Kurve soll um 4 m um einen Mittelwert schwanken und dreimal so schnell ablaufen wie die normale Sinusschwankung. Dann heißt die Funktionsgleichung $$f(x)=4*sin(3x)$$.

$$a=4$$ bewirkt, dass die Sinusfunktion zwischen $$-4$$ und $$4$$ schwankt.
$$b=3$$ bewirkt, dass die Schwankung dreimal so schnell abläuft. Wo die ursprüngliche schwarze Kurve einen Berg hat, schwankt die gestauchte blaue Kurve nun dreimal.

Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion 2

Wenn du beide Parameter gleichzeitig in die Gleichung schreibst, lautet sie $$f(x)=a*sin(b*x)$$.



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