Gleichungssysteme mithilfe des Additionsverfahrens lösen

Das Additionsverfahren

Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.


$$6x+16y=36$$

$$-3x-5y=-12,6$$


Schau dir die beiden Zahlen vor $$x$$ und die beiden Zahlen vor $$y$$ an.

Suche nach einer Zahl, die mit wenig Umformung zur Gegenzahl in der andern Gleichung vor der gleichen Variablen wird.

Dann eignet sich das Additionsverfahren.

Es gibt 3 Lösungsstrategien für LGS:
1. Gleichsetzungsverfahren
2. Einsetzungsverfahren
3. Additionsverfahren

Das Additionsverfahren

1. Multipliziere eine der Variablen so, dass sie die Gegenzahl der Variablen in der anderen Gleichung ergibt

Multipliziere hier die zweite Gleichung mit $$2$$.


$$6x+16y=36$$

$$-3x-5y=-12,6$$ $$|$$ $$*2$$


$$6x$$$$+16y=36$$

$$-6x$$ $$-10y=-25,2$$


2. Addiere beide Gleichungen

Addiere die beiden linken und die beiden rechten Seiten miteinander.


$$6x+16y=36 $$

$$−6x−10y=−25,2$$

$$+$$





linke Seite:   $$($$$$6x$$$$+16y)+($$$$-6x$$$$-10y)=$$ $$6y$$

rechte Seite:   $$36-25,2=$$ $$10,8$$

$$rArr$$ $$6y$$ $$=$$ $$10,8$$


3. Löse die neue Gleichung nach der Variablen auf.

$$6y$$ $$=$$ $$10,8$$ $$|:6$$

$$y$$ $$=$$ $$1,8$$




















Immer die linken Seiten addieren und die rechten Seiten addieren.

Das Additionsverfahren

4. Berechne die andere Variable

Setze dein Ergebnis in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein. Berechne die andere Variable.

z.B.

$$6$$$$x$$ $$ +16$$$$y$$ $$ =36$$    mit   $$y=1,8$$

Du erhältst:    $$6$$$$x$$ $$ +16*$$$$1,8$$ $$ =36$$

$$6$$$$x$$ $$+28,8=36$$ $$|-28,8$$

$$6$$$$x$$ $$=7,2$$ $$|:6$$

$$x$$ $$=1,2$$


5. Führe die Probe durch

Prüfe mit der Probe, ob dein Zahlenpaar $$(x|y)$$ richtig ist.
Setze die Werte von $$x$$ und $$y$$ in beide Ausgangsgleichungen ein.

$$x=1,2$$     $$y=1,8$$


1. Gleichung

$$6x+16y=36$$

$$6*1,2+16*1,8=36$$

$$7,2+28,8=36$$

$$36=36$$
2. Gleichung

$$-3x-5y=-12,6$$

$$-3*1,2-5*1,8=-12,6$$

$$-3,6-9=-12,6$$

$$-12,6=-12,6$$


6. Gib die Lösungsmenge an

Zum Schluss schreibst du die Lösungsmenge auf: erst $$x$$, dann $$y$$.

$$L={(1,2|1,8)}$$

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Beispiele zum Finden der Gegenzahl

  • Multiplizieren mit einer negativen Zahl:


$$6x+16y=36$$

$$2x+3y=20$$ $$|*(-3)$$


$$16x-2y=17$$ $$|*(-2y)$$

$$-13x-4y=21$$

  • Beide Gleichungen multiplizieren:


$$3x+7y=31$$ $$|*4$$

$$-4x-3y=7$$ $$|*3$$


$$9x+7y=28$$ $$|*3$$

$$7x+3y=-31$$ $$|*(-7)$$

oder

$$9x+7y=28$$ $$|*(-3)$$

$$7x+3y=-31$$ $$|*7$$

Das Additionsverfahren im Überblick

Schrittfolge für das Additionsverfahren

  1. Multipliziere eine der beiden Variablen so, dass sie die Gegenzahl der Variablen in der anderen Gleichung ergibt.
  2. Addiere beide Gleichungen.
  3. Löse die neue Gleichung nach der Variablen auf.
  4. Berechne die andere Variable.
  5. Führe die Probe durch.
  6. Gib die Lösungsmenge an.

Nach $$x$$ oder $$y$$ auflösen?

Es ist egal, welche der beiden Gleichungen du nach einer Variablen auflöst. Du kannst nach $$x$$ oder nach $$y$$ auflösen. Alle Möglichkeiten führen zu demselben Ergebnis. Aber: Besser du suchst dir eine günstige Variable, sonst ist die Rechnung sehr umständlich.


Schritt 1: Eine der Variablen multiplizieren

$$6x+16y=36$$

$$-3x-5y=-12,6$$ $$|$$ $$*2$$


$$6x+16y=36$$

$$-6x-10y=-25,2$$


Schritt 2: Beide Gleichungen addieren

$$6y=10,8$$ $$|$$ $$:6$$


Schritt 3: Die neue Gleichung nach der Variablen auflösen

$$6x+16y=36$$

$$y=1,8$$


Schritt 4: Die andere Variable berechnen

$$6x+16*(1,8)=36$$

$$6x+28,8=36$$ $$|$$ $$-28,2$$

$$6x=7,2$$

$$x=1,2$$


Schritt 5: Eine Probe durchführen

1.Gleichung

$$6x+16y=36$$

$$6*1,2+16*1,8=36$$

$$7,2+28,8=36$$

$$36=36$$

2.Gleichung

$$−3x−5y=−12,6$$

$$−3⋅1,2−5⋅1,8=−12,6$$

$$−3,6−9=−12,6$$

$$−12,6=−12,6$$


Schritt 6: Die Lösungsmenge angeben

$$L={(1,2|1,8)}$$



$$6x+16y=36$$

$$-3x-5y=-12,6$$ $$|$$ $$*3,2$$


$$6x+16y=36$$

$$-9,6x-16y=-40,32$$



$$-3,6x=-4,32$$ $$|$$ $$:(-3,6)$$




$$6x+16y=36$$

$$x=1,2$$



$$6*1,2+16y=36$$

$$7,2+16y=36$$ $$|$$ $$-7,2$$

$$16y=28,8$$ $$|$$ $$:16$$

$$y=1,8$$

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Noch ein schlauer Hinweis

Die Wahl der Variablen ist ebenfalls egal. Ob sie jetzt $$x$$ und $$y$$ oder $$s$$ und $$t$$ oder $$u$$ und $$v$$ heißen.
Wichtig ist: Nach der Umformung muss bei einer der Variablen die Gegenzahl der anderen Gleichung stehen.


$$v=3u-4$$

$$2v=5u+3$$

Das Additionsverfahren mit Brüchen

Bei Aufgaben mit Brüchen funktioniert das Additionsverfahren genauso, du musst nur die Brüche vorher wegbekommen:


Beispiel:

Schritt 1: Eine der Variablen multiplizieren

$$1/3 x+1/2 y=9/6$$ $$|$$ $$*6$$

$$1/3 x-1/5 y=12/15$$ $$|$$ $$*15$$


$$2x+3y=9$$

$$5x-3y=12$$


Schritt 2: Beide Gleichungen addieren

$$7x=21$$ $$|$$ $$:7$$


Schritt 3: Die neue Gleichung nach der Variablen auflösen

$$2x+3y=9$$

$$x=3$$


Schritt 4: Die andere Variable berechnen

$$2*3+3y=9$$

$$6+3y=9$$ $$|$$ $$-6$$

$$3y=3$$ $$|$$ $$:3$$

$$y=1$$


Schritt 5: Eine Probe durchführen

1.Gleichung

$$1/3x+1/2y=9/6$$

$$1/3*3+1/2*1=9/6$$

$$1+1/2=9/6$$

$$ 3/2 = 3/2$$

2.Gleichung

$$1/3x-1/5y=12/15$$

$$1/3*3-1/5*1=12/15$$

$$1-1/5=12/15$$

$$4/5=4/5$$


Schritt 6: Die Lösungsmenge angeben

$$L={(3|1)}$$




Multipliziere immer mit dem Hauptnenner der Brüche in einer Zeile.

Das Subtraktionsverfahren

Manchmal ist es auch sinnvoller das Additionsverfahren in ein „Subtraktions“-Verfahren umzuwandeln. Es funktioniert genauso, nur subtrahierst du eine der beiden Zeilen von der jeweils anderen.


Beispiel:

Schritt 1: Eine der Variablen multiplizieren

$$4a+3b=11$$ $$|$$ $$*2$$

$$6a+6b=18$$


$$8a+6b=22$$

$$6a+6b=18$$


Schritt 2: Beide Gleichungen subtrahieren

$$2a=4$$ $$|$$ $$:2$$


Schritt 3: Die neue Gleichung nach der Variablen auflösen

$$8a+6b=22$$

$$a=2$$


Schritt 4: Die andere Variable berechnen

$$8*2+6b=22$$

$$6b=6$$

$$b=1$$


Schritt 5: Eine Probe durchführen

1.Gleichung

$$4a+3b=11$$

$$4*2+3*1=11$$

$$8+3=11$$

$$11=11$$

2.Gleichung

$$6a+6b=18$$

$$6*2+6*1=18$$

$$12+6=18$$

$$18=18$$


Schritt 6: Die Lösungsmenge angeben

$$L={(2|1)}$$

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