Bogenmaß und Gradmaß berechnen

Winkel und Bogenlänge

Winkel kennst du bisher mit der Einheit Grad °. Nun fanden Mathematiker das Rechnen mit Winkeln in ° aber unpraktisch und haben sich ein anderes System überlegt. (Auch das noch.:-))

Nimm den Einheitskreis und schau dir die Länge des Kreisbogens zu jedem Winkel an.
(Als Längeneinheit kannst du alle möglichen Einheiten nehmen.)


Bogenmaß und Gradmaß berechnen


Zu jedem Winkel gehört eine bestimmte Länge des Kreisbogens.

Im Einheitskreis kannst du jeden Winkel $$alpha$$ durch die zugehörige Länge des Kreisbogens beschreiben.

Das Bogenmaß

Erinnerst du dich noch, wie du die Länge $$b$$ eines Kreisbogens berechnest?

Das geht so: $$b = alpha/(360^°) * 2 * pi * r$$
Im Einheitskreis mit Radius 1: $$b = alpha/(360^°) * 2 * pi $$

Beispiel:

Bogenmaß und Gradmaß berechnen


$$b=(60^°)/(360^°)*2*pi=1/6*2*pi=pi/3$$ LE
LE steht für Längeneinheiten.

Die Maßzahl für den Kreisbogen im Einheitskreis ist das Bogenmaß. Du kannst also Winkel im Bogenmaß angeben. Meistens sind das Vielfache von $$pi$$ wie im Beispiel.

Die Maßzahl der Kreisbogenlänge im Einheitskreis heißt Bogenmaß. Die Einheit ist Radiant (rad), aber sie wird meistens weggelassen.
Für Winkel im Gradmaß schreibst du griechische Buchstaben: $$alpha=60^°$$
Für Winkel im Bogenmaß schreibst du lateinische Buchstaben: $$x=pi/3$$

Umfang eines Kreises: $$u=2*pi*r$$

Jetzt das Umrechnen

Jetzt kannst du Winkel $$alpha$$ ins Bogenmaß $$x$$ umrechnen und umgekehrt.
Die Formeln:

$$x=alpha/(180^°)*pi$$   bzw.   $$alpha=x/(pi)*180^°$$


Rechne den Winkel $$alpha=40^°$$ ins Bogenmaß um.
$$x=(40^°)/(180^°)*pi approx 0,22piapprox 0,69$$

Als Bild sieht das so aus:

Bogenmaß und Gradmaß berechnen


Rechne den Winkel $$x=(4pi)/3$$ ins Gradmaß um.
$$alpha=((4pi)/3)/(pi)*180^°=(4pi)/3*1/pi*180^°=(4*180^°)/3=240^°$$

Als Bild sieht das so aus:

Bogenmaß und Gradmaß berechnen


Umrechnen von Gradmaß in Bogenmaß:
$$x=alpha/(180^°)*pi$$

Umrechnen von Bogenmaß in Gradmaß:
$$alpha=x/(pi)*180^°$$

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Ein bisschen Theorie zum Schluss

Die Bogenlänge kannst du ja für jeden Kreis mit beliebigem Radius bestimmen.
Die Länge des Kreisbogens hängt von dem Radius des Kreises ab:


Bogenmaß und Gradmaß berechnen


Du rechnest die Kreisbogenlängen b so aus:

$$b=alpha/(360^°)*2*pi*r=alpha/(180^°)*pi*r$$

Wenn der Radius beliebig ist, ist jedem Winkel nicht genau eine Bogenlänge zugeordnet. Du kannst nicht einfach Winkel und Bogenmaß ineinander umrechnen, sondern musst immer wissen, wie groß der Radius ist.
Deshalb haben Mathematiker festgelegt, dass sie immer den Einheitskreis mit Radius 1 nehmen und damit das Bogenmaß definieren. Praktisch, hm?:-)

Kreisumfang:
$$u=2*pi*r$$












Aus der Bogenlänge kannst du auch den Winkel bestimmen:
$$alpha=(b*180^°)/(pi*r)$$



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