Den Logarithmus untersuchen

Blick zurück: Potenzieren und Wurzelziehen

Das Berechnen einer Potenz der Art $$b^x$$ nennt man Potenzieren.

Beispiel: $$2^4=2*2*2*2=16$$

Was ist aber, wenn du die Basis suchst? Das Potenzieren kannst du umkehren.

Beispiel: $$root 4 16 =2$$, denn $$2*2*2*2=16$$


Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens.

Was ist der Logarithmus?

Was ist, wenn du den Exponenten suchst?

Beispiel:

$$2^x=16$$

Womit musst du $$2$$ potenzieren, um auf $$16$$ zu kommen? Das Ergebnis weißt du schon: es ist $$4$$.

Genau das macht der Logarithmus.

Der Logarithmus von $$16$$ zur Basis 2 ist die Zahl, mit der du $$2$$ potenzierst, um $$16$$ rauszukriegen.

Schreibe: $$log_2 16=4$$, denn $$2^4=2*2*2*2=16$$.

Lies: Der Logarithmus von $$16$$ zur Basis $$2$$ ist gleich $$4$$.


Mit dem Logarithmus bestimmst du den Exponenten.

Definition von Logarithmen

Es seien $$y$$ und $$b≠1$$ zwei positive Zahlen. Dann ist der Logarithmus von $$y$$ zur Basis $$b$$ diejenige Zahl $$x$$, mit der man $$b$$ potenzieren muss, um $$y$$ zu erhalten.

Um die Gleichung $$2^x=16$$ zu lösen, schreibst du $$log_2 16$$.
Die Ausdrücke $$2^x=16$$ und $$log_2 16$$ sind also gleichbedeutend.

Also:
$$log_2 16=4$$, da $$2^4=2*2*2*2=16$$.

Taschenrechner können $$log_2 16$$ berechnen. Probiere es aus. Er wird $$4$$ anzeigen.

$$b^x=y$$ bedeutet dasselbe wie $$log_b y=x$$ .

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Beispiele (1)

Diese Beispiele kannst du alle ohne Taschenrechner nur durch Überlegen lösen:


$$log_10 10000=4$$ , da $$10^4=10*10*10*10=10000$$


$$log_10 10/1000=-3$$, da $$10^-3=1/[10^3)=1/1000$$


$$log_3 81=4$$ , da $$3^4=3*3*3*3=81$$


$$log_{1/4 } 2=-1/2$$,
da $$(1/4)^(-1/2)=(1/(4^-1))^(1/2)=4^(1/2)=sqrt(4)=2$$

$$b^x=y$$ bedeutet dasselbe wie $$log_b y=x$$ .

Beispiele (2)

Folgende Beispiele kannst du alle ohne Taschenrechner nur durch Überlegen lösen:

$$log_5 5/25=-2$$ ,
da $$5^x=1/25$$ ⇔ $$5^x=1/5^2$$ ⇔ $$5^x=5^-2$$ ⇔ $$x=-2$$


$$log_5 125=3$$,
denn $$ b^3=125$$ ⇔ $$b^3=5^3$$ ⇔ $$b=5$$


$$log_3 343=7$$,
denn $$7^3=y$$ ⇔ $$y=343$$


$$log_9 1=0$$,
denn $$9^0=y$$ ⇔ $$y=1$$


$$log_3 sqrt3=0,5$$,
da $$3^x=sqrt(3)$$ ⇔ $$3^x=3^0,5$$ ⇔ $$x=0,5$$

$$b^x=y$$ bedeutet dasselbe wie $$log_b y=x$$ .


Potenzgesetze:

$$1/a^n=a^-n$$

$$sqrta=a^(1/2)=a^0,5$$

Was es sonst noch zu wissen gibt

$$a)$$ Logarithmen von negativen Zahlen existieren nicht, da $$b^x$$ stets positiv ist, wenn $$b>0$$ ist .$$y$$ kann daher nicht den Wert 0 annehmen.

$$b)$$ Da der Logarithmus zur Basis 10 häufig gebraucht wird, schreibt man als Konvention auch $$log_10(y)=log(y)$$.

Die 10 darfst du als Basis also weglassen.

$$c)$$ $$b^1=b$$, also $$log_b b = 1$$ für alle $$b>0$$.

$$d)$$ $$b^0=1$$, also $$log_b 1 = 0$$ für alle $$b>0$$.

$$d)$$ Der Fall $$b=1$$ wird ausgeschlossen, da $$1^ x$$ stets gleich $$1$$ ist für alle $$x>0$$.

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