Produkte von Summen ausmultiplizieren

Terme mit mehreren Klammerpaaren

Jetzt kommt’s noch dicker: In Termen können auch mehrere Klammerpaare vorkommen. Meistens willst du die Klammern auflösen.

Schau dir an, wie’s geht:

 

Zum Nachlesen

Und noch ein paar Beispiele zum Nachlesen:

Beispiel: $$(x+2)*(y+3)$$

$$($$$$x$$ $$+2$$$$)*(y+3)=$$ $$x$$$$*y$$ $$+x$$$$*3$$ $$+2$$$$*y$$ $$+2$$$$*3$$

$$=xy+3x+2y+6$$



Beim Auflösen der Klammern multiplizierst du jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer.
Allgemein: $$($$$$a$$ $$+b$$ $$)*(c+d)=$$$$a$$$$*c$$$$+a$$$$*d$$$$+b$$$$*c$$$$+b$$$$*d$$


Diese Regel gilt wegen des Distributivgesetzes. Ein Zahlenbeispiel: $$(3+2)*(4+7)$$ ist das Gleiche wie $$3*4+3*7+2*4+2*7$$, nämlich $$55$$.

Klammern auflösen = ausmultiplizieren


Mathematiker nennen diese Struktur Produkt von 2 Summen.
Produkt: Ergebnis von $$*$$
Summe: Ergebnis von $$+$$

Beispiele mit Minuszeichen

Beispiel 1: $$(x-2)*(y+1)$$

Die Vorzeichen gehören immer mit zur Zahl! Rechne mit $$-2$$ und nicht nur mit $$2$$.

$$($$$$x$$$$-2$$$$)*(y+1)=$$ $$x$$$$*y$$$$+x$$$$*1$$$$-2$$$$*y$$$$-2$$$$*1$$

$$=xy+x-2y-2$$


Beispiel 2: $$(r+s)*(t-u)$$

$$($$$$r$$$$+s$$$$)*(t-u)=$$ $$r$$$$t$$$$-r$$$$u$$$$+s$$$$t$$$$-s$$$$u$$

$$+*+$$ ist $$+$$ und $$- *-$$ ist $$+$$.
$$- cdot +$$ ist $$-$$ und $$+cdot -$$ ist $$-$$.

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Schwieriges Beispiel

Beispiel: $$(2a-b)*(3c-5d)$$

$$($$$$2a$$$$-b$$$$)*(3c-5d)=$$ $$2a$$$$*3c$$$$-2a$$$$*5d$$$$-b$$$$*3c$$$$+b$$$$*5d$$

$$=6ac-10ad-3bc+5bd$$

Noch mehr Vorzeichen

Egal, wie viele fiese Vorzeichen in dem Term stecken: Nimm Vorzeichen und Zahl immer zusammen und rechne wie gewohnt.

Beispiel: $$(y-3)*(-2-x)$$

$$($$$$y$$$$-3$$$$)*(-2-x)=$$ $$y$$$$*(-2)$$$$-y$$$$*x$$$$+3$$$$*2$$$$+3$$$$x$$

$$=-2y-xy+6+3x$$

Ein Beispiel mit $$x^2$$

Beispiel: $$(x+4)*(2+x)$$

Beim Rechnen wirst du merken, dass ein $$x^2$$ auftaucht.

$$($$$$x$$ $$+4$$$$ )*(2+x)=$$ $$x$$$$ *2$$$$+x$$$$ *x$$$$+4$$$$ *2$$$$+4$$$$ *x$$

$$=2x+x^2+8+4x$$

$$=x^2+6x+8$$

Wenn in beiden Summen die gleiche Variable $$(x)$$ steht, kommt beim Ausmultiplizieren ein quadratischer Term raus $$(x^2)$$.

Mathematiker schreiben erst quadratische Glieder, dann die einfach vorkommenden Glieder und zum Schluss die Zahlen.

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3 Glieder in der Klammer

Beispiel: $$(x-2y)*(3x+y-5)$$

$$($$$$x$$$$-2y$$$$)*(3x+y-5)=$$ $$x$$$$*3x$$$$+x$$$$*y$$$$-x$$$$*5$$$$-2y$$$$*3x$$$$-2y$$$$*y$$$$+2y$$$$*5$$

$$=3x^2$$$$+xy$$$$-5x$$$$-6xy$$$$-2y^2+10y$$

$$=3x^2$$$$-5xy$$$$-5x+10y-2y^2$$



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