Zufallsexperimente beschreiben

Durch Zufall mit dem Ergebnis zufrieden?!

Uwe und Lisa sind gerade im Einkaufscenter unterwegs. Uwe möchte seine neue Freundin überraschen. Nicht weit entfernt sieht er einen Softeisstand.
„Möchtest du ein Eis? Schließe die Augen und lass dich überraschen.“
Drei verschiedene Geschmacksrichtungen Erdbeer, Schoko und Vanille stehen zur Auswahl. Uwe bringt Lisa Erdbeer mit. Sie freut sich und ist zufrieden mit dem Ergebnis.

Unter dem Ergebnis eines Zufallsexperimentes versteht man jede Möglichkeit des Ausganges des Experimentes.

Zufallsexperimente beschreiben
Bild: Michael Fabian

Ergebnisse kurz gefasst

Lisa hätte Vanille-, Erdbeer- oder Schokoladeneis bekommen können. Jede Möglichkeit ist ein Ergebnis des Zufallsexperimentes.

Alle Ergebnisse eines Zufallsexperimentes werden in der Ergebnismenge $$ Omega $$ zusammengefasst.

Die Ergebnismenge des Eisladens sind alle möglichen Geschmacksrichtungen. In der Sprache der Mathematik heißt es: $$ Omega = {$$Vanille; Schokolade; Erdbeer$$}$$

Zufallsexperimente beschreiben
Bild: iStockphoto.com (levent songur)

$$Omega$$ (gesprochen: „Omega“) ist ein Buchstabe aus dem griechischen Alphabet.

Ein besonderes Ereignis: Uwe lernt endlich Lisas Eltern kennen

Am Nachmittag stellt Lisa Uwe ihren Eltern vor. Damit sie sich besser kennen lernen, spielen sie eine Runde „Mensch ärgere dich nicht“.

Das Spiel ist ein Würfelspiel. Die Ergebnisse, die das Zufallsexperiment „Würfeln“ haben kann, sind die Zahlen 1 bis 6.
Ergebnismenge $$Omega={1;2;3;4;5;6}$$

Dabei ist die 6 ein besonderes Ergebnis. Nur wenn die 6 gewürfelt wird, darf eine Spielfigur auf das Spielfeld. Es gibt also die Erwartung an den Ausgang des Experiments. Diese Erwartung nennt man Ereignis und in diesem Fall ist die Erwartung: „Eine Figur wird aufs Feld gestellt“.

Das Ereignis E heißt in Worten: „Eine Figur wird aufs Feld gestellt“
Mathematisch symbolisch: $$E = {6}$$

Zu jedem Zufallsexperiment können Erwartungen an den Ausgang des Zufallsexperiments gestellt werden. Diese Erwartungen treffen ein, wenn besondere Ergebnisse des Zufallsexperiments erscheinen.


Um die Ereignisse zu unterscheiden, kannst du mit kleinen Buchstaben Ergänzungen oder Zahlen hinzufügen: $$E_{AufdasFeld}$$.

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Bild: Druwe & Polastri

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Beispiel: Wurf mit einem Spielwürfel

Wirft man einen Spielwürfel, so ist die Ergebnismenge :

$$Omega={1;2;3;4;5;6}.$$

Ein Ereignis E ist:
In Worten: „Es wird eine gerade Zahl gewürfelt“
Mathematisch: E = {2;4;6}.

Ein Elementarereignis, ein Ereignis mit nur einem Ergebnis, wäre:
F: „Es wird eine 3 gewürfelt“ oder F = {3}.

Ein unmögliches Ereignis wäre:
G: „Es wird eine 9 gewürfelt“.
G $$=emptyset$$

Das kann man sich an 5 Fingern merken:

  1. Alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes heißen Ergebnis.

  2. Alle Ergebnisse werden in einer Ergebnismenge gesammelt:
    $$Omega= {$$ Ergebnis1, Ergebnis2; …$$}$$
    Mathematisch schreibt man dies als: $$Omega={omega_1;omega_2;…}$$
    Sie sind für jedes Zufallsexperiment festgelegt.

  3. Besondere Erwartungen an den Ausgang eines Experimentes heißen Ereignis.
    Jedes Ereignis besteht aus Ergebnissen der Ergebnismenge des Zufallsexperimentes.
    Ein Elementarereignis ist ein Ereignis mit nur einem Ergebnis.

  4. Kann ein Ereignis nie eintreten, so ist es unmöglich.

  5. Tritt ein Ereignis auf jeden Fall ein, so ist es sicher.

Gar nicht so einfach, Softeis mit Streuseln

Zu Beginn der Lerneinheit waren Uwe und Lisa ein Eis holen. Zu ihrem Jahrestag sind sie wieder am Eisstand angekommen. Dieses mal jedoch gibt es neben den Geschmacksrichtungen Vanille, Erdbeer und Schokolade auch noch Streusel oder keine Streusel zur Auswahl. Uwe überrascht Lisa und bringt ihr Vanilleeis mit Streuseln mit. Es gibt also Zufallsexperimente, da gibt es zwei verschiedene Ergebnismengen $$Omega_1$$ und $$Omega_2$$.

$$ Omega_1 =$$ {Vanille, Erdbeer, Schokolade} und
$$Omega_2 =$$ {Streusel, keine Streusel}.

Beide Ergebnismengen sind unabhängig. Insgesamt lassen sich nun alle möglichen Kombinationen als Gesamtergebnis formulieren.
$$Omega_{Ges}=$${(Vanille;Streusel);(Vanille;keine Streusel);(Erdbeer;Streusel);(Erdbeer; keine Streusel);(Schokolade;Streusel);(Schokolade;keine Streusel)}.

Ein Element aus der Ergebnismenge ist dieses mal keine Zahl oder Wort, sondern eine Zusammensetzung und wird Tupel genannt.

Treten mehrere Wahrscheinlichkeiten unabhängig voneinander auf, so kann man die beiden getrennten Ergebnisse als eine Ergebnismenge mit Ergebnistupeln schreiben. Dabei darf man nicht vergessen, jedes Element der einen Menge mit der anderen Menge zu kombinieren.









Die Verknüpfung zweier Mengen hat mathematisch ein eigenes Zeichen. Man schreibt es wie folgt auf: $$Omega_{Ges}=Omega_1 $$ x $$Omega_2$$

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