Potenzfunktionen untersuchen
Was sind Potenzfunktionen?
Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der folgenden Form:
$$f(x)=a*x^b$$.
Dabei ist $$a$$ eine beliebige reelle Zahl ungleich $$0$$.
Die Zahl $$a$$ heißt Koeffizient der Potenzfunktion.
Die Zahl $$b$$ wird auch als Grad der Potenzfunktion bezeichnet.
Hier lernst du die Eigenschaften von Potenzfunktionen kennen.
Natürliche Zahlen $$NN$$: Das sind alle positiven ganzen Zahlen und die $$0$$.
Reelle Zahlen $$RR$$: Das sind alle dir bekannten Zahlen.
Gerader Exponent
Die Graphen stehen stellvertretend für alle Graphen von Potenzfunktionen mit geradem Exponenten und positivem Koeffizienten $$a$$.
Du siehst:
Alle Graphen
- sind achsensymmetrisch zur $$y$$-Achse.
- verlaufen durch den gemeinsamen Punkt (0|0). $$x=0$$ ist die gemeinsame Nullstelle der Graphen.
- fallen für $$x<=0$$.
- steigen für $$x>=0$$.
In der Mathematik werden Eigenschaften von Funktionen häufig an ihren Graphen veranschaulicht.
Ungerader Exponent
Hier sind die Graphen von Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten und positivem Koeffizienten $$a$$.
Du siehst:
Alle Graphen
- sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
- verlaufen durch den gemeinsamen Punkt (0|0).
- steigen für alle Werte von $$x$$.
Punktsymmetrisch bedeutet, dass die beiden Teile des Graphen durch eine Drehung um 180° ineinander übergehen.
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Der Koeffizient $$a$$
Welchen Einfluss hat nun das $$a$$ in $$f(x)=a*x^b$$?
In den Bildern wurde bei der Funktion $$f(x)=a*x^2$$ nur der Wert von $$a $$ variiert.
$$a$$ positiv$$a$$ negativ
Du erkennst:
- $$a$$ staucht oder streckt die Graphen in $$y$$-Richtung.
- Für $$a<0$$ sind die Graphen an der $$x$$-Achse gespiegelt.
Wenn du das gleiche für Funktionen mit ungeradem Exponenten wiederholst, erkennst du, dass der Parameter $$a$$ hier genau so funktioniert.
$$a$$ positiv$$a$$ negativ
- $$0<a<1$$: Graph gestaucht
- $$1<a$$: Graph gestreckt
- $$-1<a<0$$: Graph gestaucht und an der $$x$$-Achse gespiegelt
- $$a<-1$$: Graph gestreckt und an der $$x$$-Achse gespiegelt
Im Überblick
Was ist eine Potenzfunktion?
Funktion vom Typ $$f(x)=a*x^b;$$
$$a$$: beliebige Zahl; $$b$$: natürliche Zahl; $$a$$ und $$b$$ nicht $$0$$
Wie beeinflusst der Exponent $$b$$ die Form des Graphen?
| gerader Exponent | ungerader Exponent | |
| Symmetrie | achsen- symmetrisch zur $$y$$-Achse | punktsymmetrisch (Drehung um 180°) zum Punkt (0|0) |
| Monotonie- verhalten | monoton fallend für $$x<0$$, monoton steigend für $$x>0$$* | monoton steigend* |
| gemeinsame Punkte | (0|0) | (0|0) |
*Diese Aussagen gelten jeweils für den Grundtypus, das heißt, wenn die Zahl $$a$$ positiv ist. Ist $$a$$ negativ, kehrt sich das Monotonieverhalten um.
Wie beeinflusst der Koeffizient $$a$$ die Form des Graphen?
$$a$$ staucht oder streckt die Graphen in $$y$$-Richtung.
Für negative Werte von $$a$$ wird der Grundtyp des Graphen an der $$x$$-Achse gespiegelt.
Tabellenübersicht über die Gestalt der verschiedenen Graphen
Exponent geradeExponent ungerade
