Potenzfunktionen untersuchen

Was sind Potenzfunktionen?

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der folgenden Form:
$$f(x)=a*x^b$$.

Dabei ist $$a$$ eine beliebige reelle Zahl ungleich $$0$$.
Die Zahl $$a$$ heißt Koeffizient der Potenzfunktion.

$$b$$ ist eine beliebige natürliche Zahl ungleich $$0$$.
Die Zahl $$b$$ wird auch als Grad der Potenzfunktion bezeichnet.

Hier lernst du die Eigenschaften von Potenzfunktionen kennen.

Natürliche Zahlen $$NN$$: Das sind alle positiven ganzen Zahlen und die $$0$$.
Reelle Zahlen $$RR$$: Das sind alle dir bekannten Zahlen.

Gerader Exponent

Die Graphen stehen stellvertretend für alle Graphen von Potenzfunktionen mit geradem Exponenten und positivem Koeffizienten $$a$$.

Potenzfunktionen untersuchen

Du siehst:

Alle Graphen

  • sind achsensymmetrisch zur $$y$$-Achse.
  • verlaufen durch den gemeinsamen Punkt (0|0). $$x=0$$ ist die gemeinsame Nullstelle der Graphen.
  • fallen für $$x<=0$$.
  • steigen für $$x>=0$$.

In der Mathematik werden Eigenschaften von Funktionen häufig an ihren Graphen veranschaulicht.

Ungerader Exponent

Hier sind die Graphen von Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten und positivem Koeffizienten $$a$$.
Potenzfunktionen untersuchen

Du siehst:

Alle Graphen

  • sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
  • verlaufen durch den gemeinsamen Punkt (0|0).
  • steigen für alle Werte von $$x$$.











Punktsymmetrisch bedeutet, dass die beiden Teile des Graphen durch eine Drehung um 180° ineinander übergehen.

Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.de kann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager

Der Koeffizient $$a$$

Welchen Einfluss hat nun das $$a$$ in $$f(x)=a*x^b$$?

In den Bildern wurde bei der Funktion $$f(x)=a*x^2$$ nur der Wert von $$a $$ variiert.

$$a$$ positiv $$a$$ negativ
Potenzfunktionen untersuchen

Du erkennst:

  • $$a$$ staucht oder streckt die Graphen in $$y$$-Richtung.
  • Für $$a<0$$ sind die Graphen an der $$x$$-Achse gespiegelt.


Wenn du das gleiche für Funktionen mit ungeradem Exponenten wiederholst, erkennst du, dass der Parameter $$a$$ hier genau so funktioniert.

$$a$$ positiv $$a$$ negativ
Potenzfunktionen untersuchen


  • $$0<a<1$$: Graph gestaucht
  • $$1<a$$: Graph gestreckt
  • $$-1<a<0$$: Graph gestaucht und an der $$x$$-Achse gespiegelt
  • $$a<-1$$: Graph gestreckt und an der $$x$$-Achse gespiegelt

Im Überblick

Was ist eine Potenzfunktion?

Funktion vom Typ $$f(x)=a*x^b;$$
$$a$$: beliebige Zahl; $$b$$: natürliche Zahl; $$a$$ und $$b$$ nicht $$0$$

Wie beeinflusst der Exponent $$b$$ die Form des Graphen?

gerader Exponent ungerader Exponent
Symmetrieachsen-
symmetrisch zur $$y$$-Achse
punktsymmetrisch (Drehung um 180°) zum Punkt (0|0)
Monotonie-
verhalten
monoton fallend für $$x<0$$,
monoton steigend für $$x>0$$*
monoton
steigend*
gemeinsame Punkte(0|0)(0|0)

*Diese Aussagen gelten jeweils für den Grundtypus, das heißt, wenn die Zahl $$a$$ positiv ist. Ist $$a$$ negativ, kehrt sich das Monotonieverhalten um.

Wie beeinflusst der Koeffizient $$a$$ die Form des Graphen?

$$a$$ staucht oder streckt die Graphen in $$y$$-Richtung.
Für negative Werte von $$a$$ wird der Grundtyp des Graphen an der $$x$$-Achse gespiegelt.

Tabellenübersicht über die Gestalt der verschiedenen Graphen


Exponent gerade Exponent ungerade

Potenzfunktionen untersuchen Potenzfunktionen untersuchen



Noch nicht kapiert?

Screenshot kapiert.de Mathe Aufgaben EdM

Das Thema macht dir noch Schwierigkeiten?
Teste das Lernportal von kapiert.de!

  • alle Themen aus deinem Schulbuch
  • interaktive Übungen und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager
  • Video-Chat mit Tutoren in allen Fächern

Die Testlizenz endet nach 14 Tagen automatisch. Es entstehen keine Kosten.

Ich habe die AGB und Datenschutzhinweise gelesen und stimme ihnen zu.