Die Gesamtgröße berechnen (Produktgleichheit)

Was bedeutet Produktgleichheit?

Multiplizierst du bei antiproportionalen Zuordnungen die Zahlen eines Wertepaares miteinander, so erhältst du bei allen Paaren das gleiche Ergebnis.

Beispiel: Eine Wagenladung Holzwolle wird in Tüten abgepackt. Verteilst du die Wolle auf $$20$$ Tüten, dann wiegt jede einzelne Tüte $$15$$ kg.
Wie viel kg wiegt eine Tüte, wenn du die Ladung auf $$60$$ ($$100$$, $$10$$) Tüten verteilst?

Wenn du die Wertepaare miteinander multiplizierst, erhältst du das Gesamtgewicht der Holzwolle auf dem Wagen ( $$300$$ kg ).

$$20$$ Tüten mit je $$15$$ kg macht $$20*15=300$$ kg.

Und diese $$300$$ kg müssen bei jedem Wertepaar als Ergebnis der Multiplikation (=Produkt) herauskommen.

Anzahl der Tüten Gewicht
einer Tüte
in kg

Produkt
         
$$20$$
$$15$$
$$20*15=$$ $$300$$
$$60$$
$$5$$
$$60*5=$$ $$300$$
$$100$$
$$3$$
$$100*3=$$ $$300$$
$$10$$
$$30$$
$$10*30=$$ $$300$$

Ausgangsgröße $$*$$ zugeordnete Größe = Gesamtgröße der Zuordnung.

Die Gesamtgröße ist bei antiproportionalen Zuordnungen immer gleich.










Die Multiplikation liefert einen konstanten Wert.

Wozu brauchst du die Produktgleichheit?

1. Prüfen, ob eine Zuordnung antiproportional ist.

Ist die Zuordnung dieser Tabelle antiproprtional?

Länge in cm Breite in cm
$$20$$
$$10$$
$$8$$
$$25$$
$$100$$
$$2$$
$$4$$
$$50$$

Berechne für jedes Zahlenpaar das Produkt. Wenn immer das gleiche Ergebnis herauskommt, ist die Zuordnung antiproportional.

Länge ind cm Breite in cm
Produkt
        
$$20$$
$$10$$
$$20$$ $$*$$ $$10=$$ $$200$$
$$8$$
$$25$$
$$8$$ $$*$$ $$25=$$ $$200$$
$$100$$
$$2$$
$$100$$ $$*$$ $$2=$$ $$200$$
$$4$$
$$50$$
$$4$$ $$*$$ $$50=$$ $$200$$

Ja, die Zuordnung ist antiproportional.

In dieser Aufgabe gibt die Gesamtgröße (200) den Flächeninhalt eines Rechtecks an (Länge $$*$$ Breite).




Du kannst das auch prüfen, indem du jedes Wertepaar mit dem Dreisatz nachrechnest. Das ist aber viel Arbeit. Schneller geht es, wenn du die Produktgleichheit nutzt.

Wozu brauchst du die Produktgleichheit?

2. Prüfen, ob du richtig gerechnet hast.

Wenn du weißt, dass es in der Aufgabe um eine antiproportionale Zuordnung geht, kannst du mit der Produktgleichheit prüfen, ob du die Zahlenpaare richtig berechnet hast.

Beispiel: Eine Wagenladung Holzwolle wird in Tüten abgepackt. Verteilst du die Wolle auf $$20$$ Tüten, dann wiegt jede einzelne Tüte $$15$$ kg.
Wie viel kg wiegt eine Tüte, wenn du die Ladung auf $$50$$ ($$30$$, $$15$$) Tüten verteilst?

Hat Katrin die Tabelle richtig berechnet?

Anzahl der Tüten Gewicht einer Tüte
$$20$$
$$15$$
$$50$$
$$6$$
$$30$$
$$10$$
$$15$$
$$25$$


Berechne die Produkte:

Anzahl der Tüten Gewicht einer Tüte Produkt
$$20$$
$$15$$
$$20*15=$$ $$300$$
$$60$$
$$5$$
$$60*5=$$ $$300$$
$$100$$
$$3$$
$$100*3=$$ $$300$$
$$10$$
$$30$$
$$10*30=$$ $$300$$
$$15$$
$$25$$
$$15*25=375$$ Die Gesamtgröße berechnen (Produktgleichheit)

In der letzten Zeile ist ein Rechenfehler passiert. Das letzte Wertepaar liefert als Produkt einen anderen Wert. Das darf bei antiproportionalen Zuordnungen nicht sein.

Beim Nachrechnen siehst du: Zu der 15 gehört die 20.

Anzahl
der
Tüten
Gewicht
einer
Tüte
Produkt
$$20$$
$$15$$
$$20*15=$$ $$300$$
$$60$$
$$5$$
$$60*5=$$ $$300$$
$$100$$
$$3$$
$$100*3=$$ $$300$$
$$10$$
$$30$$
$$10*30=$$ $$300$$
$$15$$
$$20$$
$$15*20=$$ $$300$$
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Wozu brauchst du die Produktgleichheit?

3. Wertepaare berechnen

Wenn du die Gesamtgröße kennst, kannst du alle Wertepaare direkt berechnen.

Beispiel: Die Klasse 7b möchte für ein Sportfest 2400 Reklamezettel verteilen. Wie viele Zettel muss jeder Schüler mitnehmen, wenn 10 Schüler (20; 30; 15 Schüler) die Zettel verteilen sollen?

Bei dieser Aufgabenstellung ist die Gesamtgröße (2400 Werbezettel) gegeben. So berechnest du die Wertepaare:

Anzahl der Schüler Zettel pro Schüler Produkt
$$10$$
$$= 2400 : 10 = 240$$ $$=$$ $$2400$$
$$20$$
$$= 2400 : 20 = 120$$ $$=$$ $$2400$$
$$30$$
$$= 2400 : 30 = 80$$ $$=$$ $$2400$$
$$15$$
$$= 2400 : 15 = 160$$ $$=$$ $$2400$$

Multiplizierst du bei antiproportionalen Zuordnungen die Zahlen eines Wertepaares miteinander, so ist das Produkt immer gleich. Die Wertepaare sind also produktgleich. Dieser Wert heißt Gesamtgröße der antiproportionalen Zuordnung.

Kurzform: Ausgangsgröße $$*$$ zugeordnete Größe = Gesamtgröße der Zuordnung.



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