Tangens: Dreiecke berechnen

Berechnungen in beliebigen Dreiecken

Bis jetzt hast du mit Sinus, Kosinus und Tangens nur in rechtwinkligen Dreiecken gerechnet. Diese Beziehungen kannst du auch nur in rechtwinkligen Dreiecken anwenden. Wie kannst du aber in beliebigen Dreiecken ohne rechten Winkel rechnen? Ganz einfach: Erzeuge dir einen rechten Winkel! So geht’s:

Zerlegen

Zerlege dein Dreieck in 2 rechtwinklige Dreiecke. Das geht, indem du die Höhe einzeichnest. Dann kennst du in den Teildreiecken eine Seite und den spitzen Winkel.

Mit Sinus, Kosinus, Tangens in beliebigen Dreiecken rechnen

Zerlege das Dreieck, wenn es 3 spitze Winkel hat.

 
 
 
 
 
 

Spitzer Winkel:

$$alpha$$ liegt zwischen $$0^°$$ und $$90^°$$. $$0^° < alpha <90^°$$

Winkelarten bestimmen

Beispielaufgabe Zerlegen

Gegeben ist ein Dreieck mit $$a = 6$$ $$cm$$, $$α = 40^°$$, $$β = 60^°$$. Berechne die Seite $$c$$.

Lösung:
Zeichne die Höhe ein. Die Seite $$c$$ wird so in die Abschnitte $$x$$ und $$y$$ geteilt. $$c=x+y$$.

Mit Sinus, Kosinus, Tangens in beliebigen Dreiecken rechnen

Seite $$y$$:

$$cos beta = y/a$$ $$|*a$$

$$a * cos beta = y$$

$$6 * cos 60^° = y$$

$$3$$ $$cm$$ $$=y$$  

Höhe $$h_c$$:

$$sin beta = h_c / a$$ $$|*a$$

$$a * sin beta = h_c$$

$$6 * sin 60^° = h_c$$

$$5,20$$ $$cm$$ $$=h_c$$

Seite $$x$$:

$$tan alpha = h_c /x$$ $$|*x$$

$$x * tan alpha = h_c$$ $$|: tan alpha$$

$$x = h_c / tan alpha$$

$$x = 5,20/tan 40^°$$

$$x = 6,20$$ $$cm$$

Seite $$c$$:
$$c = x+y$$

$$c = 6,20 + 3$$

$$c = 9,20$$ $$cm$$

Fertig! Die Seite $$c$$ ist $$9,20$$ $$cm$$ lang.

Strategie:

Zerlegen in 2 rechtwinklige Dreiecke

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rechne mit gerundeten Zwischenergebnissen weiter.

Ergänzen

Du kannst ein Dreieck auch zu einem rechtwinkligen Dreieck ergänzen. Wenn du die Höhe einzeichnest, liegt sie außerhalb des Dreiecks.

Mit Sinus, Kosinus, Tangens in beliebigen Dreiecken rechnen

Stumpfwinklige Dreiecke kannst du zu einem rechtwinkligen Dreieck ergänzen oder zerlegen.

 

Stumpfer Winkel:

$$alpha$$ liegt zwischen $$90^°$$ und $$180^°$$. $$90^° < alpha <180^°$$

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Beispielaufgabe Ergänzen

In diesem Dreieck beträgt der Winkel $$α = 20^°$$ und der Winkel $$β= 115^°$$. Die Höhe $$h_c$$ ist $$20$$ $$cm$$ lang.
Berechne die Seite $$b$$ und die Seite $$a$$.

Mit Sinus, Kosinus, Tangens in beliebigen Dreiecken rechnen

Lösung:
Zeichne die Höhe ein und ergänze zum rechtwinkligen Dreieck.

Mit Sinus, Kosinus, Tangens in beliebigen Dreiecken rechnen

Seite $$b$$:

$$sin alpha= h_c / b$$ $$|*b$$

$$b * sin alpha = h_c$$ $$|:sin alpha$$

$$b = h_c/ sin alpha$$

$$b = 20/ sin 20^°$$

$$b = 58,48$$ $$cm$$

Seite $$a$$:
Zuerst berechnest du den Winkel $$beta_1$$:

$$beta_1 = 180^°-beta$$

$$beta_1=180^°-115^°$$

$$beta_1=65^°$$

Jetzt kannst du $$a$$ berechnen:

$$sin beta_1 = h_c / a$$ $$|*a$$

$$a * sin beta_1 = h_c$$ $$|: sin beta_1$$

$$a = h_c / sin beta_1$$

$$a = 20 / sin 65^°$$

$$a = 22,07$$ $$cm$$

 
 
 

Strategie:

Zerlegen in 2 rechtwinklige Dreiecke

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

$$beta$$ und $$beta_1$$ sind Nebenwinkel. Nebenwinkel sind zusammen $$180^°$$ groß.



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